微分積分例

$P' (t) = \frac{d}{d t} {(0.97)}^{t}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$d$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{d}{d t} [\frac{d}{d t} \cdot {(0.97)}^{t}]$

ステップ 1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t} \cdot {(0.97)}^{t}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{1}{t}$ と ${(0.97)}^{t}$ をまとめます。

$\frac{d}{d t} [\frac{{(0.97)}^{t}}{t}]$

ステップ 1.2

$f (t) = {0.97}^{t}$ および $g (t) = t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{t \frac{d}{d t} [{0.97}^{t}] - {0.97}^{t} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

ステップ 1.3

$a$ = $0.97$ のとき、 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ は $a^{t} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) - {0.97}^{t} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

ステップ 1.4

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) - {0.97}^{t} \cdot 1}{t^{2}}$

ステップ 1.4.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) - 1 \cdot {0.97}^{t}}{t^{2}}$

ステップ 1.4.2.2

$- 1 \cdot {0.97}^{t}$ を $- {0.97}^{t}$ に書き換えます。

$\frac{t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) - {0.97}^{t}}{t^{2}}$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\ln (0.97) t \cdot {0.97}^{t} - {0.97}^{t}}{t^{2}}$

ステップ 1.5.1.2

$\ln (0.97) t \cdot {0.97}^{t} - {0.97}^{t}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97) - {0.97}^{t}}{t^{2}}$

ステップ 1.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{{0.97}^{t} t \ln (0.97) - {0.97}^{t}}{t^{2}}$

ステップ 1.5.3

${0.97}^{t}$ を ${0.97}^{t} t \ln (0.97) - {0.97}^{t}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

${0.97}^{t}$ を ${0.97}^{t} t \ln (0.97)$ で因数分解します。

$\frac{{0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - {0.97}^{t}}{t^{2}}$

ステップ 1.5.3.2

${0.97}^{t}$ を $- {0.97}^{t}$ で因数分解します。

$\frac{{0.97}^{t} (t \ln (0.97)) + {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{2}}$

ステップ 1.5.3.3

${0.97}^{t}$ を ${0.97}^{t} (t \ln (0.97)) + {0.97}^{t} \cdot - 1$ で因数分解します。

$f' (t) = \frac{{0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1)}{t^{2}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (t) = {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1)$ および $g (t) = t^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [{0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1)] - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

ステップ 2.2

${(t^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [{0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1)] - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [{0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1)] - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

ステップ 2.3

$f (t) = {0.97}^{t}$ および $g (t) = t \ln (0.97) - 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{t^{2} ({0.97}^{t} \frac{d}{d t} [t \ln (0.97) - 1] + (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [{0.97}^{t}]) - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

ステップ 2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

総和則では、 $t \ln (0.97) - 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t \ln (0.97)] + \frac{d}{d t} [- 1]$ です。

$\frac{t^{2} ({0.97}^{t} (\frac{d}{d t} [t \ln (0.97)] + \frac{d}{d t} [- 1]) + (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [{0.97}^{t}]) - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

ステップ 2.4.2

$\ln (0.97)$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $t \ln (0.97)$ の微分係数は $\ln (0.97) \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{t^{2} ({0.97}^{t} (\ln (0.97) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]) + (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [{0.97}^{t}]) - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

ステップ 2.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{t^{2} ({0.97}^{t} (\ln (0.97) \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1]) + (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [{0.97}^{t}]) - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

ステップ 2.4.4

$\ln (0.97)$ に $1$ をかけます。

$\frac{t^{2} ({0.97}^{t} (\ln (0.97) + \frac{d}{d t} [- 1]) + (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [{0.97}^{t}]) - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

ステップ 2.4.5

$- 1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{t^{2} ({0.97}^{t} (\ln (0.97) + 0) + (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [{0.97}^{t}]) - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

ステップ 2.4.6

$\ln (0.97)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [{0.97}^{t}]) - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

ステップ 2.5

$a$ = $0.97$ のとき、 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ は $a^{t} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) ({0.97}^{t} \ln (0.97))) - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

ステップ 2.6

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) (2 t)}{t^{4}}$

ステップ 2.6.2

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) t}{t^{4}}$

ステップ 2.6.2.2

$t$ を $t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) t$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.1

$t$ を $t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97))$ で因数分解します。

$\frac{t (t ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97))) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) t}{t^{4}}$

ステップ 2.6.2.2.2

$t$ を $- 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) t$ で因数分解します。

$\frac{t (t ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97))) + t (- 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1))}{t^{4}}$

ステップ 2.6.2.2.3

$t$ を $t (t ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97))) + t (- 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1))$ で因数分解します。

$\frac{t (t ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1))}{t^{4}}$

ステップ 2.7

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$t$ を $t^{4}$ で因数分解します。

$\frac{t (t ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1))}{t \cdot t^{3}}$

ステップ 2.7.2

共通因数を約分します。

$\frac{t (t ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1))}{t \cdot t^{3}}$

ステップ 2.7.3

式を書き換えます。

$\frac{t ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1)}{t^{3}}$

ステップ 2.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{t ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) \cdot {0.97}^{t} - 1 \cdot {0.97}^{t}) \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1)}{t^{3}}$

ステップ 2.8.2

分配則を当てはめます。

$\frac{t ({0.97}^{t} \ln (0.97) + t \ln (0.97) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97) - 1 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1)}{t^{3}}$

ステップ 2.8.3

分配則を当てはめます。

$\frac{t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + t (t \ln (0.97) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) + t (- 1 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1)}{t^{3}}$

ステップ 2.8.4

分配則を当てはめます。

$\frac{t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + t (t \ln (0.97) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) + t (- 1 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

ステップ 2.8.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.5.1

$t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + t (t \ln (0.97) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) + t (- 1 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.5.1.1

$t ({0.97}^{t} \ln (0.97))$ と $t (- 1 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97))$ について因数を並べ替えます。

$\frac{{0.97}^{t} t \ln (0.97) + t (t \ln (0.97) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - {0.97}^{t} t \ln (0.97) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

ステップ 2.8.5.1.2

${0.97}^{t} t \ln (0.97)$ から ${0.97}^{t} t \ln (0.97)$ を引きます。

$\frac{t (t \ln (0.97) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) + 0 - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

ステップ 2.8.5.1.3

$t (t \ln (0.97) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97))$ と $0$ をたし算します。

$\frac{t (t \ln (0.97) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

ステップ 2.8.5.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.5.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\ln (0.97) \ln (0.97) t (t \cdot {0.97}^{t}) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

ステップ 2.8.5.2.2

指数を足して $t$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.5.2.2.1

$t$ を移動させます。

$\frac{\ln (0.97) \ln (0.97) (t \cdot t) \cdot {0.97}^{t} - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

ステップ 2.8.5.2.2.2

$t$ に $t$ をかけます。

$\frac{\ln (0.97) \ln (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

ステップ 2.8.5.2.3

$\ln (0.97) \ln (0.97)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.5.2.3.1

$\ln (0.97)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\ln^{1} (0.97) \ln (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

ステップ 2.8.5.2.3.2

$\ln (0.97)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\ln^{1} (0.97) \ln^{1} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

ステップ 2.8.5.2.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\ln (0.97)}^{1 + 1} t^{2} \cdot {0.97}^{t} - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

ステップ 2.8.5.2.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\ln^{2} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

ステップ 2.8.5.2.4

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (0.97)$ を簡約します。

$\frac{\ln^{2} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} + {0.97}^{t} (t (- \ln ({0.97}^{2}))) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

ステップ 2.8.5.2.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\ln^{2} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln ({0.97}^{2}) \cdot {0.97}^{t} t - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

ステップ 2.8.5.2.6

$0.97$ を $2$ 乗します。

$\frac{\ln^{2} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln (0.9409) \cdot {0.97}^{t} t - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

ステップ 2.8.5.2.7

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{\ln^{2} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln (0.9409) \cdot {0.97}^{t} t + 2 \cdot {0.97}^{t}}{t^{3}}$

ステップ 2.8.5.3

$\ln^{2} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln (0.9409) \cdot {0.97}^{t} t + 2 \cdot {0.97}^{t}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) - t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t}}{t^{3}}$

ステップ 2.8.6

項を並べ替えます。

$\frac{{0.97}^{t} t^{2} \ln^{2} (0.97) - {0.97}^{t} t \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t}}{t^{3}}$

ステップ 2.8.7

$\frac{{0.97}^{t} t^{2} \ln^{2} (0.97) - {0.97}^{t} t \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t}}{t^{3}}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (t) = \frac{t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) - t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t}}{t^{3}}$

ステップ 3

$t$ に関する $P' (t)$ の二次導関数は $\frac{t^{2} \cdot ({0.97}^{t} \ln^{2} (0.97)) - t \cdot ({0.97}^{t} \ln (0.9409)) + 2 \cdot {0.97}^{t}}{t^{3}}$ です。

$\frac{t^{2} \cdot ({0.97}^{t} \ln^{2} (0.97)) - t \cdot ({0.97}^{t} \ln (0.9409)) + 2 \cdot {0.97}^{t}}{t^{3}}$

微分積分 例

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