微分積分例

$f (x, y) = \sin^{2} (x - 3 y)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x - 3 y)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin (x - 3 y)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x - 3 y)]$

ステップ 1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (x - 3 y)]$

ステップ 1.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (x - 3 y)$ で置き換えます。

$2 \sin (x - 3 y) \frac{d}{d x} [\sin (x - 3 y)]$

ステップ 1.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x - 3 y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x - 3 y$ とします。

$2 \sin (x - 3 y) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x - 3 y])$

ステップ 1.2.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$2 \sin (x - 3 y) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x - 3 y])$

ステップ 1.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x - 3 y$ で置き換えます。

$2 \sin (x - 3 y) (\cos (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x - 3 y])$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

総和則では、 $x - 3 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ です。

$2 \sin (x - 3 y) \cos (x - 3 y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y])$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \sin (x - 3 y) \cos (x - 3 y) (1 + \frac{d}{d x} [- 3 y])$

ステップ 1.3.3

$- 3 y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3 y$ の微分係数は $0$ です。

$2 \sin (x - 3 y) \cos (x - 3 y) (1 + 0)$

ステップ 1.3.4

式を簡約します。

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ステップ 1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$2 \sin (x - 3 y) \cos (x - 3 y) \cdot 1$

ステップ 1.3.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$2 \sin (x - 3 y) \cos (x - 3 y)$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

$2 \sin (x - 3 y) \cos (x - 3 y)$ の因数を並べ替えます。

$2 \cos (x - 3 y) \sin (x - 3 y)$

ステップ 1.4.2

$2 \cos (x - 3 y)$ と $\sin (x - 3 y)$ を並べ替えます。

$\sin (x - 3 y) (2 \cos (x - 3 y))$

ステップ 1.4.3

$\sin (x - 3 y)$ と $2$ を並べ替えます。

$2 \cdot \sin (x - 3 y) \cos (x - 3 y)$

ステップ 1.4.4

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$\sin (2 (x - 3 y))$

ステップ 1.4.5

分配則を当てはめます。

$\sin (2 x + 2 (- 3 y))$

ステップ 1.4.6

$- 3$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \sin (2 x - 6 y)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x - 6 y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x - 6 y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 6 y]$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x - 6 y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x - 6 y$ で置き換えます。

$\cos (2 x - 6 y) \frac{d}{d x} [2 x - 6 y]$

ステップ 2.2

微分します。

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ステップ 2.2.1

総和則では、 $2 x - 6 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6 y]$ です。

$\cos (2 x - 6 y) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6 y])$

ステップ 2.2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cos (2 x - 6 y) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 y])$

ステップ 2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (2 x - 6 y) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 y])$

ステップ 2.2.4

$2$ に $1$ をかけます。

$\cos (2 x - 6 y) (2 + \frac{d}{d x} [- 6 y])$

ステップ 2.2.5

$- 6 y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6 y$ の微分係数は $0$ です。

$\cos (2 x - 6 y) (2 + 0)$

ステップ 2.2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.2.6.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\cos (2 x - 6 y) \cdot 2$

ステップ 2.2.6.2

$2$ を $\cos (2 x - 6 y)$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 2 \cos (2 x - 6 y)$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \cos (2 x - 6 y)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x - 6 y)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x - 6 y)]$

ステップ 3.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x - 6 y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x - 6 y$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 6 y])$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x - 6 y])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x - 6 y$ で置き換えます。

$2 (- \sin (2 x - 6 y) \frac{d}{d x} [2 x - 6 y])$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 (\sin (2 x - 6 y) \frac{d}{d x} [2 x - 6 y])$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $2 x - 6 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6 y]$ です。

$- 2 \sin (2 x - 6 y) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6 y])$

ステップ 3.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 \sin (2 x - 6 y) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 y])$

ステップ 3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \sin (2 x - 6 y) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 y])$

ステップ 3.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$- 2 \sin (2 x - 6 y) (2 + \frac{d}{d x} [- 6 y])$

ステップ 3.3.6

$- 6 y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6 y$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 \sin (2 x - 6 y) (2 + 0)$

ステップ 3.3.7

式を簡約します。

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ステップ 3.3.7.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$- 2 \sin (2 x - 6 y) \cdot 2$

ステップ 3.3.7.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f''' (x) = - 4 \sin (2 x - 6 y)$

微分積分 例

微分積分例