微分積分例

$g (t) = \sec^{2} (t) - \tan^{2} (t)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $\sec^{2} (t) - \tan^{2} (t)$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [\sec^{2} (t)] + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$ です。

$\frac{d}{d t} [\sec^{2} (t)] + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d t} [\sec^{2} (t)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = \sec (t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sec (t)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\sec (t)] + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

ステップ 1.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\sec (t)] + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

ステップ 1.2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sec (t)$ で置き換えます。

$2 \sec (t) \frac{d}{d t} [\sec (t)] + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

ステップ 1.2.2

$t$ に関する $\sec (t)$ の微分係数は $\sec (t) \tan (t)$ です。

$2 \sec (t) (\sec (t) \tan (t)) + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

ステップ 1.2.3

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$2 (\sec^{1} (t) \sec (t)) \tan (t) + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

ステップ 1.2.4

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$2 (\sec^{1} (t) \sec^{1} (t)) \tan (t) + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

ステップ 1.2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 {\sec (t)}^{1 + 1} \tan (t) + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

ステップ 1.2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 \sec^{2} (t) \tan (t) + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- \tan^{2} (t)$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [\tan^{2} (t)]$ です。

$2 \sec^{2} (t) \tan (t) - \frac{d}{d t} [\tan^{2} (t)]$

ステップ 1.3.2

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = \tan (t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\tan (t)$ とします。

$2 \sec^{2} (t) \tan (t) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [\tan (t)])$

ステップ 1.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \sec^{2} (t) \tan (t) - (2 u_{2} \frac{d}{d t} [\tan (t)])$

ステップ 1.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\tan (t)$ で置き換えます。

$2 \sec^{2} (t) \tan (t) - (2 \tan (t) \frac{d}{d t} [\tan (t)])$

ステップ 1.3.3

$t$ に関する $\tan (t)$ の微分係数は $\sec^{2} (t)$ です。

$2 \sec^{2} (t) \tan (t) - (2 \tan (t) \sec^{2} (t))$

ステップ 1.3.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 \sec^{2} (t) \tan (t) - 2 \tan (t) \sec^{2} (t)$

ステップ 1.4

項をまとめます。

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ステップ 1.4.1

$- 2 \tan (t) \sec^{2} (t)$ の因数を並べ替えます。

$2 \sec^{2} (t) \tan (t) - 2 \sec^{2} (t) \tan (t)$

ステップ 1.4.2

$2 \sec^{2} (t) \tan (t)$ から $2 \sec^{2} (t) \tan (t)$ を引きます。

$f' (t) = 0$

ステップ 2

$0$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $0$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (t) = 0$

ステップ 3

$t$ に関する $g (t)$ の二次導関数は $0$ です。

$0$

微分積分 例

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