微分積分例

$f (t) = \sqrt{8 t^{2}} - t$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $\sqrt{8 t^{2}} - t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [\sqrt{8 t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$ です。

$\frac{d}{d t} [\sqrt{8 t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d t} [\sqrt{8 t^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{8 t^{2}}$ を ${(8 t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d t} [{(8 t^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 1.2.2

$8$ を $8 t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d t} [{(8 (t^{2}))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 1.2.3

積の法則を $8 (t^{2})$ に当てはめます。

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} {(t^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 1.2.4

${(t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} t^{2 (\frac{1}{2})}] + \frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 1.2.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} t^{2 (\frac{1}{2})}] + \frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 1.2.4.2.2

式を書き換えます。

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} t^{1}] + \frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 1.2.5

簡約します。

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} t] + \frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 1.2.6

$8^{\frac{1}{2}}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $8^{\frac{1}{2}} t$ の微分係数は $8^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$ です。

$8^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 1.2.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 1.2.8

$8^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$8^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d t} [- t]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t]$ です。

$8^{\frac{1}{2}} - \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1$

ステップ 1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (t) = 8^{\frac{1}{2}} - 1$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $8^{\frac{1}{2}} - 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 2.2

$8^{\frac{1}{2}}$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $8^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 2.3

$- 1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + 0$

ステップ 2.4

$0$ と $0$ をたし算します。

$f'' (t) = 0$

ステップ 3

$t$ に関する $f (t)$ の二次導関数は $0$ です。

$0$

微分積分 例

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