微分積分例

$f (x) = \sin (g (x))$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = g x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $g x$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [g x]$

ステップ 1.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (g x) \frac{d}{d x} [g x]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

$g$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $g x$ の微分係数は $g \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cos (g x) (g \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (g x) (g \cdot 1)$

ステップ 1.2.3

式を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$g$ に $1$ をかけます。

$\cos (g x) g$

ステップ 1.2.3.2

$\cos (g x) g$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = g \cos (g x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$g$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $g \cos (g x)$ の微分係数は $g \frac{d}{d x} [\cos (g x)]$ です。

$g \frac{d}{d x} [\cos (g x)]$

ステップ 2.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = g x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $g x$ とします。

$g (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [g x])$

ステップ 2.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$g (- \sin (u) \frac{d}{d x} [g x])$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $g x$ で置き換えます。

$g (- \sin (g x) \frac{d}{d x} [g x])$

ステップ 2.3

$g$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $g x$ の微分係数は $g \frac{d}{d x} [x]$ です。

$g (- \sin (g x) (g \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.4

$g$ を $1$ 乗します。

$g^{1} g (- \sin (g x) (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.5

$g$ を $1$ 乗します。

$g^{1} g^{1} (- \sin (g x) (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$g^{1 + 1} (- \sin (g x) (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$g^{2} (- \sin (g x) (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$g^{2} (- \sin (g x) \cdot 1)$

ステップ 2.9

式を簡約します。

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ステップ 2.9.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$g^{2} (- \sin (g x))$

ステップ 2.9.2

$g^{2} (- \sin (g x))$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = - g^{2} \sin (g x)$

ステップ 3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- g^{2} \sin (g x)$ です。

$- g^{2} \sin (g x)$

微分積分 例

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