微分積分例

$f (x) = 3 x {(x + 4)}^{2}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

${(x + 4)}^{2}$ を $(x + 4) (x + 4)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [3 x ((x + 4) (x + 4))]$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 4) (x + 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [3 x (x (x + 4) + 4 (x + 4))]$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [3 x (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4))]$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [3 x (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4)]$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [3 x (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4)]$

ステップ 1.3.1.2

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d x} [3 x (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4)]$

ステップ 1.3.1.3

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [3 x (x^{2} + 4 x + 4 x + 16)]$

ステップ 1.3.2

$4 x$ と $4 x$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [3 x (x^{2} + 8 x + 16)]$

ステップ 1.4

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x (x^{2} + 8 x + 16)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 8 x + 16)]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 8 x + 16)]$

ステップ 1.5

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} + 8 x + 16$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 (x \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 16] + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.6

微分します。

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ステップ 1.6.1

総和則では、 $x^{2} + 8 x + 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [16]$ です。

$3 (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.6.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x (2 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.6.3

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 (x (2 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.6.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x (2 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.6.5

$8$ に $1$ をかけます。

$3 (x (2 x + 8 + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.6.6

$16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $16$ の微分係数は $0$ です。

$3 (x (2 x + 8 + 0) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.6.7

$2 x + 8$ と $0$ をたし算します。

$3 (x (2 x + 8) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.6.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x (2 x + 8) + (x^{2} + 8 x + 16) \cdot 1)$

ステップ 1.6.9

$x^{2} + 8 x + 16$ に $1$ をかけます。

$3 (x (2 x + 8) + x^{2} + 8 x + 16)$

ステップ 1.7

簡約します。

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ステップ 1.7.1

分配則を当てはめます。

$3 (x (2 x) + x \cdot 8 + x^{2} + 8 x + 16)$

ステップ 1.7.2

分配則を当てはめます。

$3 (x (2 x)) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

ステップ 1.7.3

項をまとめます。

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ステップ 1.7.3.1

$x$ を $1$ 乗します。

$3 (2 (x^{1} x)) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

ステップ 1.7.3.2

$x$ を $1$ 乗します。

$3 (2 (x^{1} x^{1})) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

ステップ 1.7.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 (2 x^{1 + 1}) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

ステップ 1.7.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$3 (2 x^{2}) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

ステップ 1.7.3.5

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x^{2} + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

ステップ 1.7.3.6

$8$ を $x$ の左に移動させます。

$6 x^{2} + 3 (8 \cdot x) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

ステップ 1.7.3.7

$8$ に $3$ をかけます。

$6 x^{2} + 24 x + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

ステップ 1.7.3.8

$6 x^{2}$ と $3 x^{2}$ をたし算します。

$9 x^{2} + 24 x + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

ステップ 1.7.3.9

$8$ に $3$ をかけます。

$9 x^{2} + 24 x + 24 x + 3 \cdot 16$

ステップ 1.7.3.10

$24 x$ と $24 x$ をたし算します。

$9 x^{2} + 48 x + 3 \cdot 16$

ステップ 1.7.3.11

$3$ に $16$ をかけます。

$f' (x) = 9 x^{2} + 48 x + 48$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $9 x^{2} + 48 x + 48$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$ です。

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{2}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 2.2.3

$2$ に $9$ をかけます。

$18 x + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [48 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$48$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $48 x$ の微分係数は $48 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$18 x + 48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$18 x + 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 2.3.3

$48$ に $1$ をかけます。

$18 x + 48 + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

$48$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $48$ の微分係数は $0$ です。

$18 x + 48 + 0$

ステップ 2.4.2

$18 x + 48$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 18 x + 48$

ステップ 3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $18 x + 48$ です。

$18 x + 48$

微分積分 例

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