微分積分例

$f (x) = \log_{5} (\tan (2 x))$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = \log_{5} (x)$ および $g (x) = \tan (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\tan (2 x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{5} (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

ステップ 1.1.2

$u_{1}$ に関する $\log_{5} (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1} \ln (5)}$ です。

$\frac{1}{u_{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

ステップ 1.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\tan (2 x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{\tan (2 x) \ln (5)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

ステップ 1.2

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$\frac{1}{\tan (2 x) \ln (5)} (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.2.2

$u_{2}$ に関する $\tan (u_{2})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{2})$ です。

$\frac{1}{\tan (2 x) \ln (5)} (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{\tan (2 x) \ln (5)} (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$\sec^{2} (2 x)$ と $\frac{1}{\tan (2 x) \ln (5)}$ をまとめます。

$\frac{\sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)} (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.3

$2$ と $\frac{\sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)}$ をまとめます。

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)} \cdot 1$

ステップ 1.3.5

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 \sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{2}{\ln (5)}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)}$ の微分係数は $\frac{2}{\ln (5)} \frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x)}]$ です。

$\frac{2}{\ln (5)} \frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x)}]$

ステップ 2.2

$f (x) = \sec^{2} (2 x)$ および $g (x) = \tan (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{\tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)] - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

ステップ 2.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sec (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sec (2 x)$ とします。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{\tan (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{\tan (2 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

ステップ 2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sec (2 x)$ で置き換えます。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{\tan (2 x) (2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

ステップ 2.4

$2$ を $\tan (2 x)$ の左に移動させます。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \cdot \tan (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

ステップ 2.5

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

ステップ 2.5.2

$u_{2}$ に関する $\sec (u_{2})$ の微分係数は $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ です。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

ステップ 2.5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

ステップ 2.6

$\tan (2 x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 (\tan^{1} (2 x) \tan (2 x)) \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

ステップ 2.7

$\tan (2 x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 (\tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x)) \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

ステップ 2.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 {\tan (2 x)}^{1 + 1} \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

ステップ 2.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

ステップ 2.10

$\sec (2 x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan^{2} (2 x) (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x] - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

ステップ 2.11

$\sec (2 x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan^{2} (2 x) (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x] - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

ステップ 2.12

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan^{2} (2 x) {\sec (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x] - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

ステップ 2.13

微分します。

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ステップ 2.13.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

ステップ 2.13.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

ステップ 2.13.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x] - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

ステップ 2.13.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \cdot 1 - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

ステップ 2.13.5

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

ステップ 2.14

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.14.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $2 x$ とします。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])}{\tan^{2} (2 x)}$

ステップ 2.14.2

$u_{3}$ に関する $\tan (u_{3})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{3})$ です。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x) (\sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x])}{\tan^{2} (2 x)}$

ステップ 2.14.3

$u_{3}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{\tan^{2} (2 x)}$

ステップ 2.15

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - {\sec (2 x)}^{2 + 2} \frac{d}{d x} [2 x]}{\tan^{2} (2 x)}$

ステップ 2.16

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - \sec^{4} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\tan^{2} (2 x)}$

ステップ 2.17

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - \sec^{4} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\tan^{2} (2 x)}$

ステップ 2.18

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 2 \sec^{4} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{\tan^{2} (2 x)}$

ステップ 2.19

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 2 \sec^{4} (2 x) \cdot 1}{\tan^{2} (2 x)}$

ステップ 2.20

分数をまとめます。

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ステップ 2.20.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 2 \sec^{4} (2 x)}{\tan^{2} (2 x)}$

ステップ 2.20.2

$\frac{2}{\ln (5)}$ に $\frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 2 \sec^{4} (2 x)}{\tan^{2} (2 x)}$ をかけます。

$\frac{2 (4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 2 \sec^{4} (2 x))}{\ln (5) \tan^{2} (2 x)}$

ステップ 2.21

簡約します。

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ステップ 2.21.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)) + 2 (- 2 \sec^{4} (2 x))}{\ln (5) \tan^{2} (2 x)}$

ステップ 2.21.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.21.2.1

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{8 (\tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)) + 2 (- 2 \sec^{4} (2 x))}{\ln (5) \tan^{2} (2 x)}$

ステップ 2.21.2.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{8 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 4 \sec^{4} (2 x)}{\ln (5) \tan^{2} (2 x)}$

ステップ 2.21.3

項を並べ替えます。

$\frac{8 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - 4 \sec^{4} (2 x)}{\tan^{2} (2 x) \ln (5)}$

ステップ 2.21.4

$4 \sec^{2} (2 x)$ を $8 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - 4 \sec^{4} (2 x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.21.4.1

$4 \sec^{2} (2 x)$ を $8 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{4 \sec^{2} (2 x) (2 \tan^{2} (2 x)) - 4 \sec^{4} (2 x)}{\tan^{2} (2 x) \ln (5)}$

ステップ 2.21.4.2

$4 \sec^{2} (2 x)$ を $- 4 \sec^{4} (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{4 \sec^{2} (2 x) (2 \tan^{2} (2 x)) + 4 \sec^{2} (2 x) (- \sec^{2} (2 x))}{\tan^{2} (2 x) \ln (5)}$

ステップ 2.21.4.3

$4 \sec^{2} (2 x)$ を $4 \sec^{2} (2 x) (2 \tan^{2} (2 x)) + 4 \sec^{2} (2 x) (- \sec^{2} (2 x))$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{4 \sec^{2} (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x))}{\tan^{2} (2 x) \ln (5)}$

ステップ 3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{4 \sec^{2} (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x))}{\tan^{2} (2 x) \ln (5)}$ です。

$\frac{4 \sec^{2} (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x))}{\tan^{2} (2 x) \ln (5)}$

微分積分 例

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