微分積分例

$V (t) = A e^{k t} \sin (b t)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$A$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $A e^{k t} \sin (b t)$ の微分係数は $A \frac{d}{d t} [e^{k t} \sin (b t)]$ です。

$A \frac{d}{d t} [e^{k t} \sin (b t)]$

ステップ 1.2

$f (t) = e^{k t}$ および $g (t) = \sin (b t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$A (e^{k t} \frac{d}{d t} [\sin (b t)] + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

ステップ 1.3

$f (t) = \sin (t)$ および $g (t) = b t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $b t$ とします。

$A (e^{k t} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

ステップ 1.3.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$A (e^{k t} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

ステップ 1.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $b t$ で置き換えます。

$A (e^{k t} (\cos (b t) \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

ステップ 1.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$b$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $b t$ の微分係数は $b \frac{d}{d t} [t]$ です。

$A (e^{k t} (\cos (b t) (b \frac{d}{d t} [t])) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

ステップ 1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$A (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

ステップ 1.4.3

$b$ に $1$ をかけます。

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

ステップ 1.5

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = k t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $k t$ とします。

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [k t]))$

ステップ 1.5.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [k t]))$

ステップ 1.5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $k t$ で置き換えます。

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} \frac{d}{d t} [k t]))$

ステップ 1.6

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

$k$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $k t$ の微分係数は $k \frac{d}{d t} [t]$ です。

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} (k \frac{d}{d t} [t])))$

ステップ 1.6.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} (k \cdot 1)))$

ステップ 1.6.3

$k$ に $1$ をかけます。

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} k))$

ステップ 1.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

分配則を当てはめます。

$A (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A (\sin (b t) (e^{k t} k))$

ステップ 1.7.2

括弧を削除します。

$A e^{k t} (\cos (b t) b) + A \sin (b t) (e^{k t} k)$

ステップ 1.7.3

項を並べ替えます。

$e^{k t} A b \cos (b t) + e^{k t} A k \sin (b t)$

ステップ 1.7.4

$e^{k t} A b \cos (b t) + e^{k t} A k \sin (b t)$ の因数を並べ替えます。

$f' (t) = A b e^{k t} \cos (b t) + A k e^{k t} \sin (b t)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $A b e^{k t} \cos (b t) + A k e^{k t} \sin (b t)$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [A b e^{k t} \cos (b t)] + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$ です。

$\frac{d}{d t} [A b e^{k t} \cos (b t)] + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d t} [A b e^{k t} \cos (b t)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$A b$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $A b e^{k t} \cos (b t)$ の微分係数は $A b \frac{d}{d t} [e^{k t} \cos (b t)]$ です。

$A b \frac{d}{d t} [e^{k t} \cos (b t)] + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

ステップ 2.2.2

$f (t) = e^{k t}$ および $g (t) = \cos (b t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$A b (e^{k t} \frac{d}{d t} [\cos (b t)] + \cos (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}]) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

ステップ 2.2.3

$f (t) = \cos (t)$ および $g (t) = b t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $b t$ とします。

$A b (e^{k t} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [b t]) + \cos (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}]) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

ステップ 2.2.3.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$A b (e^{k t} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [b t]) + \cos (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}]) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

ステップ 2.2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $b t$ で置き換えます。

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) \frac{d}{d t} [b t]) + \cos (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}]) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

ステップ 2.2.4

$b$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $b t$ の微分係数は $b \frac{d}{d t} [t]$ です。

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) (b \frac{d}{d t} [t])) + \cos (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}]) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

ステップ 2.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) (b \cdot 1)) + \cos (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}]) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

ステップ 2.2.6

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = k t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $k t$ とします。

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) (b \cdot 1)) + \cos (b t) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [k t])) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

ステップ 2.2.6.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) (b \cdot 1)) + \cos (b t) (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [k t])) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

ステップ 2.2.6.3

$u_{2}$ のすべての発生を $k t$ で置き換えます。

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) (b \cdot 1)) + \cos (b t) (e^{k t} \frac{d}{d t} [k t])) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

ステップ 2.2.7

$k$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $k t$ の微分係数は $k \frac{d}{d t} [t]$ です。

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) (b \cdot 1)) + \cos (b t) (e^{k t} (k \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

ステップ 2.2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) (b \cdot 1)) + \cos (b t) (e^{k t} (k \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

ステップ 2.2.9

$b$ に $1$ をかけます。

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} (k \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

ステップ 2.2.10

$k$ に $1$ をかけます。

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$A k$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $A k e^{k t} \sin (b t)$ の微分係数は $A k \frac{d}{d t} [e^{k t} \sin (b t)]$ です。

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k \frac{d}{d t} [e^{k t} \sin (b t)]$

ステップ 2.3.2

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} \frac{d}{d t} [\sin (b t)] + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

ステップ 2.3.3

$f (t) = \sin (t)$ および $g (t) = b t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $b t$ とします。

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

ステップ 2.3.3.2

$u_{3}$ に関する $\sin (u_{3})$ の微分係数は $\cos (u_{3})$ です。

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (u_{3}) \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

ステップ 2.3.3.3

$u_{3}$ のすべての発生を $b t$ で置き換えます。

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

ステップ 2.3.4

$b$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $b t$ の微分係数は $b \frac{d}{d t} [t]$ です。

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) (b \frac{d}{d t} [t])) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

ステップ 2.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

ステップ 2.3.6

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = k t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{4}$ を $k t$ とします。

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) (\frac{d}{d u_{4}} [e^{u_{4}}] \frac{d}{d t} [k t]))$

ステップ 2.3.6.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{4}} [a^{u_{4}}]$ は $a^{u_{4}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) (e^{u_{4}} \frac{d}{d t} [k t]))$

ステップ 2.3.6.3

$u_{4}$ のすべての発生を $k t$ で置き換えます。

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) (e^{k t} \frac{d}{d t} [k t]))$

ステップ 2.3.7

$k$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $k t$ の微分係数は $k \frac{d}{d t} [t]$ です。

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) (e^{k t} (k \frac{d}{d t} [t])))$

ステップ 2.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) (e^{k t} (k \cdot 1)))$

ステップ 2.3.9

$b$ に $1$ をかけます。

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} (k \cdot 1)))$

ステップ 2.3.10

$k$ に $1$ をかけます。

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} k))$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b)) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} k))$

ステップ 2.4.2

分配則を当てはめます。

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b)) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A k (\sin (b t) (e^{k t} k))$

ステップ 2.4.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

$b$ を $1$ 乗します。

$A (b^{1} b) (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A k (\sin (b t) (e^{k t} k))$

ステップ 2.4.3.2

$b$ を $1$ 乗します。

$A (b^{1} b^{1}) (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A k (\sin (b t) (e^{k t} k))$

ステップ 2.4.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$A b^{1 + 1} (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A k (\sin (b t) (e^{k t} k))$

ステップ 2.4.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$A b^{2} (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A k (\sin (b t) (e^{k t} k))$

ステップ 2.4.3.5

$k$ を $1$ 乗します。

$A b^{2} (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A (k^{1} k) (\sin (b t) (e^{k t}))$

ステップ 2.4.3.6

$k$ を $1$ 乗します。

$A b^{2} (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A (k^{1} k^{1}) (\sin (b t) (e^{k t}))$

ステップ 2.4.3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$A b^{2} (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A k^{1 + 1} (\sin (b t) (e^{k t}))$

ステップ 2.4.3.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$A b^{2} (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A k^{2} (\sin (b t) (e^{k t}))$

ステップ 2.4.3.9

$k$ と $b$ を並べ替えます。

$A b^{2} (e^{k t} (- \sin (b t))) + b k A e^{k t} \cos (b t) + b k A e^{k t} \cos (b t) + A k^{2} (\sin (b t) (e^{k t}))$

ステップ 2.4.3.10

$b k A e^{k t} \cos (b t)$ と $b k A e^{k t} \cos (b t)$ をたし算します。

$A b^{2} (e^{k t} (- \sin (b t))) + 2 b k A e^{k t} \cos (b t) + A k^{2} (\sin (b t) (e^{k t}))$

ステップ 2.4.4

項を並べ替えます。

$- e^{k t} b^{2} A \sin (b t) + 2 e^{k t} A b k \cos (b t) + e^{k t} k^{2} A \sin (b t)$

ステップ 2.4.5

$- e^{k t} b^{2} A \sin (b t) + 2 e^{k t} A b k \cos (b t) + e^{k t} k^{2} A \sin (b t)$ の因数を並べ替えます。

$f'' (t) = - b^{2} A e^{k t} \sin (b t) + 2 A b k e^{k t} \cos (b t) + k^{2} A e^{k t} \sin (b t)$

ステップ 3

$t$ に関する $V (t)$ の二次導関数は $- b^{2} A e^{k t} \sin (b t) + 2 A b k e^{k t} \cos (b t) + k^{2} A e^{k t} \sin (b t)$ です。

$- b^{2} A e^{k t} \sin (b t) + 2 A b k e^{k t} \cos (b t) + k^{2} A e^{k t} \sin (b t)$

微分積分 例

微分積分例