微分積分例

$g (x) = 8 x {(2 x - 5)}^{9}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x {(2 x - 5)}^{9}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x {(2 x - 5)}^{9}]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [x {(2 x - 5)}^{9}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(2 x - 5)}^{9}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$8 (x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{9}] + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3

$f (x) = x^{9}$ および $g (x) = 2 x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x - 5$ とします。

$8 (x (\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.2

$n = 9$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (x (9 u^{8} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.3

$u$ のすべての発生を $2 x - 5$ で置き換えます。

$8 (x (9 {(2 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4

微分します。

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ステップ 1.4.1

総和則では、 $2 x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$8 (x (9 {(2 x - 5)}^{8} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$8 (x (9 {(2 x - 5)}^{8} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (x (9 {(2 x - 5)}^{8} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.4

$2$ に $1$ をかけます。

$8 (x (9 {(2 x - 5)}^{8} (2 + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.5

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$8 (x (9 {(2 x - 5)}^{8} (2 + 0)) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.6

式を簡約します。

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ステップ 1.4.6.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$8 (x (9 {(2 x - 5)}^{8} \cdot 2) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.6.2

$2$ に $9$ をかけます。

$8 (x (18 {(2 x - 5)}^{8}) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (x (18 {(2 x - 5)}^{8}) + {(2 x - 5)}^{9} \cdot 1)$

ステップ 1.4.8

${(2 x - 5)}^{9}$ に $1$ をかけます。

$8 (x (18 {(2 x - 5)}^{8}) + {(2 x - 5)}^{9})$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

分配則を当てはめます。

$8 (x (18 {(2 x - 5)}^{8})) + 8 {(2 x - 5)}^{9}$

ステップ 1.5.2

$18$ に $8$ をかけます。

$144 (x ({(2 x - 5)}^{8})) + 8 {(2 x - 5)}^{9}$

ステップ 1.5.3

$8 {(2 x - 5)}^{8}$ を $144 x {(2 x - 5)}^{8} + 8 {(2 x - 5)}^{9}$ で因数分解します。

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ステップ 1.5.3.1

$8 {(2 x - 5)}^{8}$ を $144 x {(2 x - 5)}^{8}$ で因数分解します。

$8 {(2 x - 5)}^{8} (18 x) + 8 {(2 x - 5)}^{9}$

ステップ 1.5.3.2

$8 {(2 x - 5)}^{8}$ を $8 {(2 x - 5)}^{9}$ で因数分解します。

$8 {(2 x - 5)}^{8} (18 x) + 8 {(2 x - 5)}^{8} (2 x - 5)$

ステップ 1.5.3.3

$8 {(2 x - 5)}^{8}$ を $8 {(2 x - 5)}^{8} (18 x) + 8 {(2 x - 5)}^{8} (2 x - 5)$ で因数分解します。

$8 {(2 x - 5)}^{8} (18 x + 2 x - 5)$

ステップ 1.5.4

$18 x$ と $2 x$ をたし算します。

$f' (x) = 8 {(2 x - 5)}^{8} (20 x - 5)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 {(2 x - 5)}^{8} (20 x - 5)$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8} (20 x - 5)]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8} (20 x - 5)]$

ステップ 2.2

$f (x) = {(2 x - 5)}^{8}$ および $g (x) = 20 x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$8 ({(2 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [20 x - 5] + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

ステップ 2.3

微分します。

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ステップ 2.3.1

総和則では、 $20 x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$8 ({(2 x - 5)}^{8} (\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

ステップ 2.3.2

$20$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $20 x$ の微分係数は $20 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$8 ({(2 x - 5)}^{8} (20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 ({(2 x - 5)}^{8} (20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

ステップ 2.3.4

$20$ に $1$ をかけます。

$8 ({(2 x - 5)}^{8} (20 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

ステップ 2.3.5

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$8 ({(2 x - 5)}^{8} (20 + 0) + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

ステップ 2.3.6

式を簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

$20$ と $0$ をたし算します。

$8 ({(2 x - 5)}^{8} \cdot 20 + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

ステップ 2.3.6.2

$20$ を ${(2 x - 5)}^{8}$ の左に移動させます。

$8 (20 \cdot {(2 x - 5)}^{8} + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

ステップ 2.4

$f (x) = x^{8}$ および $g (x) = 2 x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x - 5$ とします。

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + (20 x - 5) (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [2 x - 5]))$

ステップ 2.4.2

$n = 8$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + (20 x - 5) (8 u^{7} \frac{d}{d x} [2 x - 5]))$

ステップ 2.4.3

$u$ のすべての発生を $2 x - 5$ で置き換えます。

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + (20 x - 5) (8 {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [2 x - 5]))$

ステップ 2.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$8$ を $20 x - 5$ の左に移動させます。

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 8 \cdot (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

ステップ 2.5.2

総和則では、 $2 x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 8 (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

ステップ 2.5.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 8 (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

ステップ 2.5.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 8 (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

ステップ 2.5.5

$2$ に $1$ をかけます。

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 8 (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7} (2 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

ステップ 2.5.6

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 8 (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7} (2 + 0))$

ステップ 2.5.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.7.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 8 (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7} \cdot 2)$

ステップ 2.5.7.2

$2$ に $8$ をかけます。

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 16 (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7})$

ステップ 2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

分配則を当てはめます。

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + (16 (20 x) + 16 \cdot - 5) {(2 x - 5)}^{7})$

ステップ 2.6.2

分配則を当てはめます。

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8}) + 8 ((16 (20 x) + 16 \cdot - 5) {(2 x - 5)}^{7})$

ステップ 2.6.3

$20$ に $8$ をかけます。

$160 {(2 x - 5)}^{8} + 8 ((16 (20 x) + 16 \cdot - 5) {(2 x - 5)}^{7})$

ステップ 2.6.4

$20$ に $16$ をかけます。

$160 {(2 x - 5)}^{8} + 8 ((320 x + 16 \cdot - 5) {(2 x - 5)}^{7})$

ステップ 2.6.5

$16$ に $- 5$ をかけます。

$160 {(2 x - 5)}^{8} + 8 ((320 x - 80) {(2 x - 5)}^{7})$

ステップ 2.6.6

$8 {(2 x - 5)}^{7}$ を $160 {(2 x - 5)}^{8} + 8 (320 x - 80) {(2 x - 5)}^{7}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.6.1

$8 {(2 x - 5)}^{7}$ を $160 {(2 x - 5)}^{8}$ で因数分解します。

$8 {(2 x - 5)}^{7} (20 (2 x - 5)) + 8 (320 x - 80) {(2 x - 5)}^{7}$

ステップ 2.6.6.2

$8 {(2 x - 5)}^{7}$ を $8 (320 x - 80) {(2 x - 5)}^{7}$ で因数分解します。

$8 {(2 x - 5)}^{7} (20 (2 x - 5)) + 8 {(2 x - 5)}^{7} (320 x - 80)$

ステップ 2.6.6.3

$8 {(2 x - 5)}^{7}$ を $8 {(2 x - 5)}^{7} (20 (2 x - 5)) + 8 {(2 x - 5)}^{7} (320 x - 80)$ で因数分解します。

$f'' (x) = 8 {(2 x - 5)}^{7} (20 (2 x - 5) + 320 x - 80)$

ステップ 3

$x$ に関する $g (x)$ の二次導関数は $8 {(2 x - 5)}^{7} (20 (2 x - 5) + 320 x - 80)$ です。

$8 {(2 x - 5)}^{7} (20 (2 x - 5) + 320 x - 80)$

微分積分 例

微分積分例