微分積分例

$y (x) = (9 x^{2} - 7 x) (18 x - \frac{97}{x})$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = 9 x^{2} - 7 x$ および $g (x) = 18 x - \frac{97}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(9 x^{2} - 7 x) \frac{d}{d x} [18 x - \frac{97}{x}] + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $18 x - \frac{97}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]$ です。

$(9 x^{2} - 7 x) (\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

ステップ 1.2.2

$18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $18 x$ の微分係数は $18 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(9 x^{2} - 7 x) (18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

ステップ 1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(9 x^{2} - 7 x) (18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

ステップ 1.2.4

$18$ に $1$ をかけます。

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

ステップ 1.2.5

$- 97$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{97}{x}$ の微分係数は $- 97 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$(9 x^{2} - 7 x) (18 - 97 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

ステップ 1.2.6

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$(9 x^{2} - 7 x) (18 - 97 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

ステップ 1.2.7

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(9 x^{2} - 7 x) (18 - 97 (- x^{- 2})) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

ステップ 1.2.8

$- 1$ に $- 97$ をかけます。

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

ステップ 1.2.9

総和則では、 $9 x^{2} - 7 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ です。

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

ステップ 1.2.10

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{2}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

ステップ 1.2.11

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

ステップ 1.2.12

$2$ に $9$ をかけます。

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

ステップ 1.2.13

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 x$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.14

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7 \cdot 1)$

ステップ 1.2.15

$- 7$ に $1$ をかけます。

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7)$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 \frac{1}{x^{2}}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7)$

ステップ 1.3.2

$97$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + \frac{97}{x^{2}}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7)$

ステップ 1.3.3

項を並べ替えます。

$(18 + \frac{97}{x^{2}}) (9 x^{2} - 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

ステップ 1.3.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

分配法則（FOIL法）を使って $(18 + \frac{97}{x^{2}}) (9 x^{2} - 7 x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1.1

分配則を当てはめます。

$18 (9 x^{2} - 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2} - 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

ステップ 1.3.4.1.2

分配則を当てはめます。

$18 (9 x^{2}) + 18 (- 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2} - 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

ステップ 1.3.4.1.3

分配則を当てはめます。

$18 (9 x^{2}) + 18 (- 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2}) + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

ステップ 1.3.4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1

$9$ に $18$ をかけます。

$162 x^{2} + 18 (- 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2}) + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

ステップ 1.3.4.2.2

$- 7$ に $18$ をかけます。

$162 x^{2} - 126 x + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2}) + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

ステップ 1.3.4.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$162 x^{2} - 126 x + 9 \frac{97}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

ステップ 1.3.4.2.4

$9 \frac{97}{x^{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.4.1

$9$ と $\frac{97}{x^{2}}$ をまとめます。

$162 x^{2} - 126 x + \frac{9 \cdot 97}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

ステップ 1.3.4.2.4.2

$9$ に $97$ をかけます。

$162 x^{2} - 126 x + \frac{873}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

ステップ 1.3.4.2.5

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.5.1

共通因数を約分します。

$162 x^{2} - 126 x + \frac{873}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

ステップ 1.3.4.2.5.2

式を書き換えます。

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

ステップ 1.3.4.2.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - 7 \frac{97}{x^{2}} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

ステップ 1.3.4.2.7

$- 7 \frac{97}{x^{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.7.1

$- 7$ と $\frac{97}{x^{2}}$ をまとめます。

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 7 \cdot 97}{x^{2}} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

ステップ 1.3.4.2.7.2

$- 7$ に $97$ をかけます。

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x^{2}} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

ステップ 1.3.4.2.8

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.8.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x \cdot x} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

ステップ 1.3.4.2.8.2

共通因数を約分します。

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x \cdot x} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

ステップ 1.3.4.2.8.3

式を書き換えます。

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x} + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

ステップ 1.3.4.2.9

分数の前に負数を移動させます。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

ステップ 1.3.4.3

分配法則（FOIL法）を使って $(18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.3.1

分配則を当てはめます。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 x (18 x - \frac{97}{x}) - 7 (18 x - \frac{97}{x})$

ステップ 1.3.4.3.2

分配則を当てはめます。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 x (18 x) + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x - \frac{97}{x})$

ステップ 1.3.4.3.3

分配則を当てはめます。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 x (18 x) + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

ステップ 1.3.4.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 \cdot 18 x \cdot x + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

ステップ 1.3.4.4.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.4.2.1

$x$ を移動させます。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 \cdot 18 (x \cdot x) + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

ステップ 1.3.4.4.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 \cdot 18 x^{2} + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

ステップ 1.3.4.4.3

$18$ に $18$ をかけます。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

ステップ 1.3.4.4.4

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.4.4.1

$- \frac{97}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + 18 x \frac{- 97}{x} - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

ステップ 1.3.4.4.4.2

$x$ を $18 x$ で因数分解します。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + x \cdot 18 \frac{- 97}{x} - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

ステップ 1.3.4.4.4.3

共通因数を約分します。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + x \cdot 18 \frac{- 97}{x} - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

ステップ 1.3.4.4.4.4

式を書き換えます。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + 18 \cdot - 97 - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

ステップ 1.3.4.4.5

$18$ に $- 97$ をかけます。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

ステップ 1.3.4.4.6

$18$ に $- 7$ をかけます。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x - 7 (- \frac{97}{x})$

ステップ 1.3.4.4.7

$- 7 (- \frac{97}{x})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.4.7.1

$- 1$ に $- 7$ をかけます。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + 7 \frac{97}{x}$

ステップ 1.3.4.4.7.2

$7$ と $\frac{97}{x}$ をまとめます。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + \frac{7 \cdot 97}{x}$

ステップ 1.3.4.4.7.3

$7$ に $97$ をかけます。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + \frac{679}{x}$

ステップ 1.3.5

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + \frac{679}{x}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

$- \frac{679}{x}$ と $\frac{679}{x}$ をたし算します。

$162 x^{2} - 126 x + 873 + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + 0$

ステップ 1.3.5.2

$162 x^{2} - 126 x + 873 + 324 x^{2} - 1746 - 126 x$ と $0$ をたし算します。

$162 x^{2} - 126 x + 873 + 324 x^{2} - 1746 - 126 x$

ステップ 1.3.6

$162 x^{2}$ と $324 x^{2}$ をたし算します。

$486 x^{2} - 126 x + 873 - 1746 - 126 x$

ステップ 1.3.7

$- 126 x$ から $126 x$ を引きます。

$486 x^{2} - 252 x + 873 - 1746$

ステップ 1.3.8

$873$ から $1746$ を引きます。

$f' (x) = 486 x^{2} - 252 x - 873$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $486 x^{2} - 252 x - 873$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [486 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$ です。

$\frac{d}{d x} [486 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [486 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$486$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $486 x^{2}$ の微分係数は $486 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$486 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$486 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

ステップ 2.2.3

$2$ に $486$ をかけます。

$972 x + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 252 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 252$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 252 x$ の微分係数は $- 252 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$972 x - 252 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$972 x - 252 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 873]$

ステップ 2.3.3

$- 252$ に $1$ をかけます。

$972 x - 252 + \frac{d}{d x} [- 873]$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 873$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 873$ の微分係数は $0$ です。

$972 x - 252 + 0$

ステップ 2.4.2

$972 x - 252$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 972 x - 252$

ステップ 3

$x$ に関する $y (x)$ の二次導関数は $972 x - 252$ です。

$972 x - 252$

微分積分 例

微分積分例