微分積分例

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3} - 9 x^{2} + 5 x - 3$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 2 x^{3} - 9 x^{2} + 5 x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{3}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.2.3

$3$ に $- 2$ をかけます。

$4 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x^{2}$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.3.3

$2$ に $- 9$ をかけます。

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 18 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 18 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.4.3

$5$ に $1$ をかけます。

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 18 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.5.1

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 18 x + 5 + 0$

ステップ 1.5.2

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 18 x + 5$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} - 18 x + 5$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $4 x^{3} - 6 x^{2} - 18 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x^{2}$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.3.3

$2$ に $- 6$ をかけます。

$12 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [- 18 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$- 18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 18 x$ の微分係数は $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 x^{2} - 12 x - 18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{2} - 12 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.4.3

$- 18$ に $1$ をかけます。

$12 x^{2} - 12 x - 18 + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.5.1

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$12 x^{2} - 12 x - 18 + 0$

ステップ 2.5.2

$12 x^{2} - 12 x - 18$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 x - 18$

ステップ 3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $12 x^{2} - 12 x - 18$ です。

$12 x^{2} - 12 x - 18$

微分積分 例

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