微分積分例

$f (y) = (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (y + 3 y^{3})$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (y) = \frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}$ および $g (y) = y + 3 y^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) \frac{d}{d y} [y + 3 y^{3}] + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $y + 3 y^{3}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y^{3}]$ です。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y^{3}]) + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + \frac{d}{d y} [3 y^{3}]) + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

ステップ 1.2.3

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $3 y^{3}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ です。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 3 \frac{d}{d y} [y^{3}]) + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

ステップ 1.2.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 3 (3 y^{2})) + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

ステップ 1.2.5

$3$ に $3$ をかけます。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

ステップ 1.2.6

総和則では、 $\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}]$ です。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}])$

ステップ 1.2.7

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1

$\frac{1}{y^{2}}$ を ${(y^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (\frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}])$

ステップ 1.2.7.2

${(y^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (\frac{d}{d y} [y^{2 \cdot - 1}] + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}])$

ステップ 1.2.7.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (\frac{d}{d y} [y^{- 2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}])$

ステップ 1.2.8

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}])$

ステップ 1.2.9

$- 5$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- \frac{5}{y^{4}}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}]$ です。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} - 5 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}])$

ステップ 1.2.10

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.10.1

$\frac{1}{y^{4}}$ を ${(y^{4})}^{- 1}$ に書き換えます。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} - 5 \frac{d}{d y} [{(y^{4})}^{- 1}])$

ステップ 1.2.10.2

${(y^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.10.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} - 5 \frac{d}{d y} [y^{4 \cdot - 1}])$

ステップ 1.2.10.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} - 5 \frac{d}{d y} [y^{- 4}])$

ステップ 1.2.11

$n = - 4$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} - 5 (- 4 y^{- 5}))$

ステップ 1.2.12

$- 4$ に $- 5$ をかけます。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} + 20 y^{- 5})$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 \frac{1}{y^{3}} + 20 y^{- 5})$

ステップ 1.3.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 \frac{1}{y^{3}} + 20 \frac{1}{y^{5}})$

ステップ 1.3.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$- 2$ と $\frac{1}{y^{3}}$ をまとめます。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (\frac{- 2}{y^{3}} + 20 \frac{1}{y^{5}})$

ステップ 1.3.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- \frac{2}{y^{3}} + 20 \frac{1}{y^{5}})$

ステップ 1.3.3.3

$20$ と $\frac{1}{y^{5}}$ をまとめます。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}})$

ステップ 1.3.4

項を並べ替えます。

$(1 + 9 y^{2}) (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

ステップ 1.3.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + 9 y^{2}) (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1.1

分配則を当てはめます。

$1 (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) + 9 y^{2} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

ステップ 1.3.5.1.2

分配則を当てはめます。

$1 \frac{1}{y^{2}} + 1 (- \frac{5}{y^{4}}) + 9 y^{2} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

ステップ 1.3.5.1.3

分配則を当てはめます。

$1 \frac{1}{y^{2}} + 1 (- \frac{5}{y^{4}}) + 9 y^{2} \frac{1}{y^{2}} + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

ステップ 1.3.5.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.2.1.1

$\frac{1}{y^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{y^{2}} + 1 (- \frac{5}{y^{4}}) + 9 y^{2} \frac{1}{y^{2}} + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

ステップ 1.3.5.2.1.2

$- \frac{5}{y^{4}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 y^{2} \frac{1}{y^{2}} + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

ステップ 1.3.5.2.1.3

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.2.1.3.1

$y^{2}$ を $9 y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + y^{2} \cdot 9 \frac{1}{y^{2}} + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

ステップ 1.3.5.2.1.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + y^{2} \cdot 9 \frac{1}{y^{2}} + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

ステップ 1.3.5.2.1.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

ステップ 1.3.5.2.1.4

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.2.1.4.1

$- \frac{5}{y^{4}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + 9 y^{2} \frac{- 5}{y^{4}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

ステップ 1.3.5.2.1.4.2

$y^{2}$ を $9 y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + y^{2} \cdot 9 \frac{- 5}{y^{4}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

ステップ 1.3.5.2.1.4.3

$y^{2}$ を $y^{4}$ で因数分解します。

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + y^{2} \cdot 9 \frac{- 5}{y^{2} y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

ステップ 1.3.5.2.1.4.4

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + y^{2} \cdot 9 \frac{- 5}{y^{2} y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

ステップ 1.3.5.2.1.4.5

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + 9 \frac{- 5}{y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

ステップ 1.3.5.2.1.5

$9$ と $\frac{- 5}{y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{9 \cdot - 5}{y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

ステップ 1.3.5.2.1.6

$9$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 45}{y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

ステップ 1.3.5.2.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{45}{y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

ステップ 1.3.5.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - 45}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

ステップ 1.3.5.2.3

$1$ から $45$ を引きます。

$\frac{- 44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

ステップ 1.3.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

ステップ 1.3.5.4

分配法則（FOIL法）を使って $(- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.4.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{3}} (y + 3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} (y + 3 y^{3})$

ステップ 1.3.5.4.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{3}} y - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} (y + 3 y^{3})$

ステップ 1.3.5.4.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{3}} y - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

ステップ 1.3.5.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.5.1.1

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.5.1.1.1

$- \frac{2}{y^{3}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 2}{y^{3}} y - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

ステップ 1.3.5.5.1.1.2

$y$ を $y^{3}$ で因数分解します。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 2}{y \cdot y^{2}} y - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

ステップ 1.3.5.5.1.1.3

共通因数を約分します。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 2}{y \cdot y^{2}} y - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

ステップ 1.3.5.5.1.1.4

式を書き換えます。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 2}{y^{2}} - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

ステップ 1.3.5.5.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

ステップ 1.3.5.5.1.3

$y^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.5.1.3.1

$- \frac{2}{y^{3}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} + \frac{- 2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

ステップ 1.3.5.5.1.3.2

$y^{3}$ を $3 y^{3}$ で因数分解します。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} + \frac{- 2}{y^{3}} (y^{3} \cdot 3) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

ステップ 1.3.5.5.1.3.3

共通因数を約分します。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} + \frac{- 2}{y^{3}} (y^{3} \cdot 3) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

ステップ 1.3.5.5.1.3.4

式を書き換えます。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 2 \cdot 3 + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

ステップ 1.3.5.5.1.4

$- 2$ に $3$ をかけます。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

ステップ 1.3.5.5.1.5

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.5.1.5.1

$y$ を $y^{5}$ で因数分解します。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y \cdot y^{4}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

ステップ 1.3.5.5.1.5.2

共通因数を約分します。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y \cdot y^{4}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

ステップ 1.3.5.5.1.5.3

式を書き換えます。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

ステップ 1.3.5.5.1.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + 3 \frac{20}{y^{5}} y^{3}$

ステップ 1.3.5.5.1.7

$3 \frac{20}{y^{5}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.5.1.7.1

$3$ と $\frac{20}{y^{5}}$ をまとめます。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{3 \cdot 20}{y^{5}} y^{3}$

ステップ 1.3.5.5.1.7.2

$3$ に $20$ をかけます。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{60}{y^{5}} y^{3}$

ステップ 1.3.5.5.1.8

$y^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.5.1.8.1

$y^{3}$ を $y^{5}$ で因数分解します。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{60}{y^{3} y^{2}} y^{3}$

ステップ 1.3.5.5.1.8.2

共通因数を約分します。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{60}{y^{3} y^{2}} y^{3}$

ステップ 1.3.5.5.1.8.3

式を書き換えます。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{60}{y^{2}}$

ステップ 1.3.5.5.2

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 2 + 60}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}}$

ステップ 1.3.5.5.3

$- 2$ と $60$ をたし算します。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{58}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}}$

ステップ 1.3.6

公分母の分子をまとめます。

$9 - 6 + \frac{- 44 + 58}{y^{2}} + \frac{- 5 + 20}{y^{4}}$

ステップ 1.3.7

$- 44$ と $58$ をたし算します。

$9 - 6 + \frac{14}{y^{2}} + \frac{- 5 + 20}{y^{4}}$

ステップ 1.3.8

$- 5$ と $20$ をたし算します。

$9 - 6 + \frac{14}{y^{2}} + \frac{15}{y^{4}}$

ステップ 1.3.9

$9$ から $6$ を引きます。

$f' (y) = 3 + \frac{14}{y^{2}} + \frac{15}{y^{4}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $3 + \frac{14}{y^{2}} + \frac{15}{y^{4}}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [\frac{14}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$ です。

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [\frac{14}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

ステップ 2.1.2

$3$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{14}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d y} [\frac{14}{y^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$14$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{14}{y^{2}}$ の微分係数は $14 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ です。

$0 + 14 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{y^{2}}$ を ${(y^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$0 + 14 \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

ステップ 2.2.3

$f (y) = y^{- 1}$ および $g (y) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $y^{2}$ とします。

$0 + 14 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

ステップ 2.2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 14 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

ステップ 2.2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $y^{2}$ で置き換えます。

$0 + 14 (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

ステップ 2.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 14 (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

ステップ 2.2.5

${(y^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$0 + 14 (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

ステップ 2.2.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$0 + 14 (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

ステップ 2.2.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 14 (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

ステップ 2.2.7

$y$ を $1$ 乗します。

$0 + 14 (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

ステップ 2.2.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$0 + 14 (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

ステップ 2.2.9

$1$ から $4$ を引きます。

$0 + 14 (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

ステップ 2.2.10

$- 2$ に $14$ をかけます。

$0 - 28 y^{- 3} + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$15$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{15}{y^{4}}$ の微分係数は $15 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}]$ です。

$0 - 28 y^{- 3} + 15 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}]$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{y^{4}}$ を ${(y^{4})}^{- 1}$ に書き換えます。

$0 - 28 y^{- 3} + 15 \frac{d}{d y} [{(y^{4})}^{- 1}]$

ステップ 2.3.3

$f (y) = y^{- 1}$ および $g (y) = y^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y^{4}$ とします。

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{4}])$

ステップ 2.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}])$

ステップ 2.3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y^{4}$ で置き換えます。

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- {(y^{4})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}])$

ステップ 2.3.4

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- {(y^{4})}^{- 2} (4 y^{3}))$

ステップ 2.3.5

${(y^{4})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- y^{4 \cdot - 2} (4 y^{3}))$

ステップ 2.3.5.2

$4$ に $- 2$ をかけます。

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- y^{- 8} (4 y^{3}))$

ステップ 2.3.6

$4$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- 4 y^{- 8} y^{3})$

ステップ 2.3.7

指数を足して $y^{- 8}$ に $y^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

$y^{3}$ を移動させます。

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- 4 (y^{3} y^{- 8}))$

ステップ 2.3.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- 4 y^{3 - 8})$

ステップ 2.3.7.3

$3$ から $8$ を引きます。

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- 4 y^{- 5})$

ステップ 2.3.8

$- 4$ に $15$ をかけます。

$0 - 28 y^{- 3} - 60 y^{- 5}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$0 - 28 \frac{1}{y^{3}} - 60 y^{- 5}$

ステップ 2.4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$0 - 28 \frac{1}{y^{3}} - 60 \frac{1}{y^{5}}$

ステップ 2.4.3

項をまとめます。

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ステップ 2.4.3.1

$- 28$ と $\frac{1}{y^{3}}$ をまとめます。

$0 + \frac{- 28}{y^{3}} - 60 \frac{1}{y^{5}}$

ステップ 2.4.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$0 - \frac{28}{y^{3}} - 60 \frac{1}{y^{5}}$

ステップ 2.4.3.3

$0$ から $\frac{28}{y^{3}}$ を引きます。

$- \frac{28}{y^{3}} - 60 \frac{1}{y^{5}}$

ステップ 2.4.3.4

$- 60$ と $\frac{1}{y^{5}}$ をまとめます。

$- \frac{28}{y^{3}} + \frac{- 60}{y^{5}}$

ステップ 2.4.3.5

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (y) = - \frac{28}{y^{3}} - \frac{60}{y^{5}}$

ステップ 3

$y$ に関する $f (y)$ の二次導関数は $- \frac{28}{y^{3}} - \frac{60}{y^{5}}$ です。

$- \frac{28}{y^{3}} - \frac{60}{y^{5}}$

微分積分 例

微分積分例