微分積分例

$f (x) = 3 a^{3 x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 a^{3 x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

ステップ 1.2

$f = a$ および $g = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ は $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ であるという一般化べき乗則を使って微分します。

$3 (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

ステップ 1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$a$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $a$ の微分係数は $0$ です。

$3 (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

ステップ 1.3.2

式を簡約します。

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ステップ 1.3.2.1

$3$ に $0$ をかけます。

$3 (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

ステップ 1.3.2.2

$x$ に $0$ をかけます。

$3 (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

ステップ 1.3.2.3

$0$ に $a^{3 x - 1}$ をかけます。

$3 (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

ステップ 1.3.2.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ をたし算します。

$3 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

ステップ 1.3.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln (a))$

ステップ 1.3.4

$3$ に $3$ をかけます。

$9 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln (a))$

ステップ 1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 \cdot 1 (a^{3 x} \ln (a))$

ステップ 1.3.6

$9$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 9 a^{3 x} \ln (a)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$9 \ln (a)$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 a^{3 x} \ln (a)$ の微分係数は $9 \ln (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ です。

$9 \ln (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

ステップ 2.2

$f = a$ および $g = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ は $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ であるという一般化べき乗則を使って微分します。

$9 \ln (a) (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$a$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $a$ の微分係数は $0$ です。

$9 \ln (a) (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

ステップ 2.3.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$3$ に $0$ をかけます。

$9 \ln (a) (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

ステップ 2.3.2.2

$x$ に $0$ をかけます。

$9 \ln (a) (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

ステップ 2.3.2.3

$0$ に $a^{3 x - 1}$ をかけます。

$9 \ln (a) (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

ステップ 2.3.2.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ をたし算します。

$9 \ln (a) (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

ステップ 2.4

$\ln (a)$ を $1$ 乗します。

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{1} (a) \ln (a))))$

ステップ 2.5

$\ln (a)$ を $1$ 乗します。

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{1} (a) \ln^{1} (a))))$

ステップ 2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} {\ln (a)}^{1 + 1}))$

ステップ 2.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln^{2} (a)))$

ステップ 2.8

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$9 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln^{2} (a))$

ステップ 2.9

$3$ に $9$ をかけます。

$27 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln^{2} (a))$

ステップ 2.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$27 \cdot 1 (a^{3 x} \ln^{2} (a))$

ステップ 2.11

$27$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 27 a^{3 x} \ln^{2} (a)$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

$27 \ln^{2} (a)$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $27 a^{3 x} \ln^{2} (a)$ の微分係数は $27 \ln^{2} (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ です。

$27 \ln^{2} (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

ステップ 3.2

$f = a$ および $g = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ は $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ であるという一般化べき乗則を使って微分します。

$27 \ln^{2} (a) (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

ステップ 3.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$a$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $a$ の微分係数は $0$ です。

$27 \ln^{2} (a) (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

ステップ 3.3.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$3$ に $0$ をかけます。

$27 \ln^{2} (a) (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

ステップ 3.3.2.2

$x$ に $0$ をかけます。

$27 \ln^{2} (a) (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

ステップ 3.3.2.3

$0$ に $a^{3 x - 1}$ をかけます。

$27 \ln^{2} (a) (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

ステップ 3.3.2.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ をたし算します。

$27 \ln^{2} (a) (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

ステップ 3.4

$\ln (a)$ を $1$ 乗します。

$27 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{2} (a) \ln^{1} (a))))$

ステップ 3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$27 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} {\ln (a)}^{2 + 1}))$

ステップ 3.6

$2$ と $1$ をたし算します。

$27 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln^{3} (a)))$

ステップ 3.7

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$27 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln^{3} (a))$

ステップ 3.8

$3$ に $27$ をかけます。

$81 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln^{3} (a))$

ステップ 3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$81 \cdot 1 (a^{3 x} \ln^{3} (a))$

ステップ 3.10

$81$ に $1$ をかけます。

$f''' (x) = 81 a^{3 x} \ln^{3} (a)$

ステップ 4

$x$ に関する $f (x)$ の三次導関数は $81 a^{3 x} \ln^{3} (a)$ です。

$81 a^{3 x} \ln^{3} (a)$

微分積分 例

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