微分積分例

$s (t) = 5 t^{3} + 12^{t} + 7$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $5 t^{3} + 12^{t} + 7$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [5 t^{3}] + \frac{d}{d t} [12^{t}] + \frac{d}{d t} [7]$ です。

$\frac{d}{d t} [5 t^{3}] + \frac{d}{d t} [12^{t}] + \frac{d}{d t} [7]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d t} [5 t^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $5 t^{3}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ です。

$5 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [12^{t}] + \frac{d}{d t} [7]$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [12^{t}] + \frac{d}{d t} [7]$

ステップ 1.2.3

$3$ に $5$ をかけます。

$15 t^{2} + \frac{d}{d t} [12^{t}] + \frac{d}{d t} [7]$

ステップ 1.3

$a$ = $12$ のとき、 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ は $a^{t} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$15 t^{2} + 12^{t} \ln (12) + \frac{d}{d t} [7]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.4.1

$7$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$15 t^{2} + 12^{t} \ln (12) + 0$

ステップ 1.4.2

$15 t^{2} + 12^{t} \ln (12)$ と $0$ をたし算します。

$f' (t) = 15 t^{2} + 12^{t} \ln (12)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $15 t^{2} + 12^{t} \ln (12)$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [15 t^{2}] + \frac{d}{d t} [12^{t} \ln (12)]$ です。

$\frac{d}{d t} [15 t^{2}] + \frac{d}{d t} [12^{t} \ln (12)]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d t} [15 t^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$15$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $15 t^{2}$ の微分係数は $15 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$15 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [12^{t} \ln (12)]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$15 (2 t) + \frac{d}{d t} [12^{t} \ln (12)]$

ステップ 2.2.3

$2$ に $15$ をかけます。

$30 t + \frac{d}{d t} [12^{t} \ln (12)]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d t} [12^{t} \ln (12)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$\ln (12)$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $12^{t} \ln (12)$ の微分係数は $\ln (12) \frac{d}{d t} [12^{t}]$ です。

$30 t + \ln (12) \frac{d}{d t} [12^{t}]$

ステップ 2.3.2

$a$ = $12$ のとき、 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ は $a^{t} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$30 t + \ln (12) (12^{t} \ln (12))$

ステップ 2.3.3

$\ln (12)$ を $1$ 乗します。

$30 t + 12^{t} (\ln^{1} (12) \ln (12))$

ステップ 2.3.4

$\ln (12)$ を $1$ 乗します。

$30 t + 12^{t} (\ln^{1} (12) \ln^{1} (12))$

ステップ 2.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$30 t + 12^{t} {\ln (12)}^{1 + 1}$

ステップ 2.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$30 t + 12^{t} \ln^{2} (12)$

ステップ 2.4

項を並べ替えます。

$f'' (t) = 12^{t} \ln^{2} (12) + 30 t$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

総和則では、 $12^{t} \ln^{2} (12) + 30 t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [12^{t} \ln^{2} (12)] + \frac{d}{d t} [30 t]$ です。

$\frac{d}{d t} [12^{t} \ln^{2} (12)] + \frac{d}{d t} [30 t]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d t} [12^{t} \ln^{2} (12)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\ln^{2} (12)$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $12^{t} \ln^{2} (12)$ の微分係数は $\ln^{2} (12) \frac{d}{d t} [12^{t}]$ です。

$\ln^{2} (12) \frac{d}{d t} [12^{t}] + \frac{d}{d t} [30 t]$

ステップ 3.2.2

$a$ = $12$ のとき、 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ は $a^{t} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\ln^{2} (12) (12^{t} \ln (12)) + \frac{d}{d t} [30 t]$

ステップ 3.2.3

指数を足して $\ln^{2} (12)$ に $\ln (12)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

$\ln (12)$ を移動させます。

$\ln (12) \ln^{2} (12) \cdot 12^{t} + \frac{d}{d t} [30 t]$

ステップ 3.2.3.2

$\ln (12)$ に $\ln^{2} (12)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.2.1

$\ln (12)$ を $1$ 乗します。

$\ln^{1} (12) \ln^{2} (12) \cdot 12^{t} + \frac{d}{d t} [30 t]$

ステップ 3.2.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${\ln (12)}^{1 + 2} \cdot 12^{t} + \frac{d}{d t} [30 t]$

ステップ 3.2.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\ln^{3} (12) \cdot 12^{t} + \frac{d}{d t} [30 t]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d t} [30 t]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$30$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $30 t$ の微分係数は $30 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\ln^{3} (12) \cdot 12^{t} + 30 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\ln^{3} (12) \cdot 12^{t} + 30 \cdot 1$

ステップ 3.3.3

$30$ に $1$ をかけます。

$\ln^{3} (12) \cdot 12^{t} + 30$

ステップ 3.4

項を並べ替えます。

$f''' (t) = 12^{t} \ln^{3} (12) + 30$

ステップ 4

$t$ に関する $s (t)$ の三次導関数は $12^{t} \ln^{3} (12) + 30$ です。

$12^{t} \ln^{3} (12) + 30$

微分積分 例

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