微分積分例

$f (x) = x^{6} - x^{5} - 4 x - 1$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{6} - x^{5} - 4 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{5}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$6 x^{5} - \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{5} - (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.2.3

$5$ に $- 1$ をかけます。

$6 x^{5} - 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x^{5} - 5 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{5} - 5 x^{4} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.3.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$6 x^{5} - 5 x^{4} - 4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$6 x^{5} - 5 x^{4} - 4 + 0$

ステップ 1.4.2

$6 x^{5} - 5 x^{4} - 4$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 6 x^{5} - 5 x^{4} - 4$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $6 x^{5} - 5 x^{4} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{5}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.2.3

$5$ に $6$ をかけます。

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{4}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$30 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$30 x^{4} - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.3.3

$4$ に $- 5$ をかけます。

$30 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$30 x^{4} - 20 x^{3} + 0$

ステップ 2.4.2

$30 x^{4} - 20 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 30 x^{4} - 20 x^{3}$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

総和則では、 $30 x^{4} - 20 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [30 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [30 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [30 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$30$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $30 x^{4}$ の微分係数は $30 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$30 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

ステップ 3.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$30 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

ステップ 3.2.3

$4$ に $30$ をかけます。

$120 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$- 20$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 20 x^{3}$ の微分係数は $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$120 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$120 x^{3} - 20 (3 x^{2})$

ステップ 3.3.3

$3$ に $- 20$ をかけます。

$f''' (x) = 120 x^{3} - 60 x^{2}$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

総和則では、 $120 x^{3} - 60 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [120 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [120 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [120 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$120$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $120 x^{3}$ の微分係数は $120 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$120 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

ステップ 4.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$120 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

ステップ 4.2.3

$3$ に $120$ をかけます。

$360 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

ステップ 4.3

$\frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$- 60$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 60 x^{2}$ の微分係数は $- 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$360 x^{2} - 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$360 x^{2} - 60 (2 x)$

ステップ 4.3.3

$2$ に $- 60$ をかけます。

$f^{4} (x) = 360 x^{2} - 120 x$

ステップ 5

$x$ に関する $f (x)$ の四次導関数は $360 x^{2} - 120 x$ です。

$360 x^{2} - 120 x$

微分積分 例

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