微分積分例

$f (x) = {(1 - x)}^{2}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

${(1 - x)}^{2}$ を $(1 - x) (1 - x)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x)]$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - x) (1 - x)$ を展開します。

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ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [1 (1 - x) - x (1 - x)]$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)]$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)]$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)]$

ステップ 1.3.1.2

$- x$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [1 - x - x \cdot 1 - x (- x)]$

ステップ 1.3.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [1 - x - x - x (- x)]$

ステップ 1.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d}{d x} [1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x]$

ステップ 1.3.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1.5.1

$x$ を移動させます。

$\frac{d}{d x} [1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)]$

ステップ 1.3.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2}]$

ステップ 1.3.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [1 - x - x + 1 x^{2}]$

ステップ 1.3.1.7

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [1 - x - x + x^{2}]$

ステップ 1.3.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

ステップ 1.4

総和則では、 $1 - 2 x + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.6

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.7

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.9

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.10

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 + 2 x$

ステップ 1.11

項を並べ替えます。

$f' (x) = 2 x - 2$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $2 x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 2.3.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2$

ステップ 3

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$f''' (x) = 0$

ステップ 4

$0$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $0$ の微分係数は $0$ です。

$f^{4} (x) = 0$

ステップ 5

$x$ に関する $f (x)$ の四次導関数は $0$ です。

$0$

微分積分 例

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