微分積分例

$f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{50}}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{50}}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{50}}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - \frac{x^{2}}{50}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- \frac{x^{2}}{50}$ とします。

$- (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}])$

ステップ 1.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}])$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $- \frac{x^{2}}{50}$ で置き換えます。

$- (e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}])$

ステップ 1.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$- \frac{1}{50}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x^{2}}{50}$ の微分係数は $- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- e^{- \frac{x^{2}}{50}} (- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.1.3.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 e^{- \frac{x^{2}}{50}} (\frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.1.3.2.2

$e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ に $1$ をかけます。

$e^{- \frac{x^{2}}{50}} (\frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.1.3.2.3

$\frac{1}{50}$ と $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ をまとめます。

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} (2 x)$

ステップ 1.1.3.4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.4.1

$2$ と $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50}$ をまとめます。

$\frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} x$

ステップ 1.1.3.4.2

$\frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{50}$

ステップ 1.1.3.4.3

$2$ と $50$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.4.3.1

$2$ を $2 e^{- \frac{x^{2}}{50}} x$ で因数分解します。

$\frac{2 (e^{- \frac{x^{2}}{50}} x)}{50}$

ステップ 1.1.3.4.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.4.3.2.1

$2$ を $50$ で因数分解します。

$\frac{2 (e^{- \frac{x^{2}}{50}} x)}{2 \cdot 25}$

ステップ 1.1.3.4.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (e^{- \frac{x^{2}}{50}} x)}{2 \cdot 25}$

ステップ 1.1.3.4.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$

ステップ 1.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$e^{- \frac{x^{2}}{50}} x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$

ステップ 1.1.4.2

項を並べ替えます。

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$

ステップ 1.1.4.3

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{1}{25}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$ の微分係数は $\frac{1}{25} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{50}}]$ です。

$\frac{1}{25} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{50}}]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{25} (x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{50}}] + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - \frac{x^{2}}{50}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- \frac{x^{2}}{50}$ とします。

$\frac{1}{25} (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{25} (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.3.3

$u$ のすべての発生を $- \frac{x^{2}}{50}$ で置き換えます。

$\frac{1}{25} (x (e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$- \frac{1}{50}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x^{2}}{50}$ の微分係数は $- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{25} (x (e^{- \frac{x^{2}}{50}} (- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

$e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ と $\frac{1}{50}$ をまとめます。

$\frac{1}{25} (x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.4.2.2

$x$ と $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50}$ をまとめます。

$\frac{1}{25} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{25} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.4.4

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{25} (- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} x + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.4.4.2

$- 2$ と $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50}$ をまとめます。

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} x + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.4.4.3

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{50}}) x}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.6

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.8

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.8.2

$- 2$ と $50$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.2.1

$2$ を $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ で因数分解します。

$\frac{1}{25} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.8.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.2.2.1

$2$ を $50$ で因数分解します。

$\frac{1}{25} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{2 (25)} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.8.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{25} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{2 \cdot 25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.8.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{25} (\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.8.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{25} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{25} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \cdot 1)$

ステップ 1.2.10

$e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{25} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}})$

ステップ 1.2.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.11.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{25} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}) + \frac{1}{25} e^{- \frac{x^{2}}{50}}$

ステップ 1.2.11.2

項をまとめます。

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ステップ 1.2.11.2.1

$\frac{1}{25}$ に $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$ をかけます。

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25 \cdot 25} + \frac{1}{25} e^{- \frac{x^{2}}{50}}$

ステップ 1.2.11.2.2

$25$ に $25$ をかけます。

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{1}{25} e^{- \frac{x^{2}}{50}}$

ステップ 1.2.11.2.3

$\frac{1}{25}$ と $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$ です。

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} = 0$

ステップ 2.2

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x = - 5, 5$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 3.1

$- 5$ を $f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $- 5$ で置換えます。

$f (- 5) = - e^{- \frac{{(- 5)}^{2}}{50}}$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$- 5$ を $2$ 乗します。

$f (- 5) = - e^{- \frac{25}{50}}$

ステップ 3.1.2.2

$25$ と $50$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$25$ を $25$ で因数分解します。

$f (- 5) = - e^{- \frac{25 (1)}{50}}$

ステップ 3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.2.1

$25$ を $50$ で因数分解します。

$f (- 5) = - e^{- \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}$

ステップ 3.1.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$f (- 5) = - e^{- \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}$

ステップ 3.1.2.2.2.3

式を書き換えます。

$f (- 5) = - e^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 3.1.2.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f (- 5) = - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.1.2.4

最終的な答えは $- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ です。

$- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.2

$f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ で代入して $- 5$ 求めた点は、 $(- 5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 3.3

$5$ を $f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $5$ で置換えます。

$f (5) = - e^{- \frac{{(5)}^{2}}{50}}$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$5$ を $2$ 乗します。

$f (5) = - e^{- \frac{25}{50}}$

ステップ 3.3.2.2

$25$ と $50$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

$25$ を $25$ で因数分解します。

$f (5) = - e^{- \frac{25 (1)}{50}}$

ステップ 3.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.2.1

$25$ を $50$ で因数分解します。

$f (5) = - e^{- \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}$

ステップ 3.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$f (5) = - e^{- \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}$

ステップ 3.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$f (5) = - e^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 3.3.2.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f (5) = - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.3.2.4

最終的な答えは $- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ です。

$- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.4

$f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ で代入して $5$ 求めた点は、 $(5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 3.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(- 5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 5)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 5.1$ で置換えます。

$f'' (- 5.1) = - \frac{{(- 5.1)}^{2} e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}$ を分母に移動させます。

$f'' (- 5.1) = - \frac{{(- 5.1)}^{2}}{625 e^{\frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

ステップ 5.2.1.2

$- 5.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 5.1) = - \frac{{(- 5.1)}^{2}}{625 e^{\frac{26.01}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

ステップ 5.2.1.3

$- 5.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 5.1) = - \frac{26.01}{625 e^{\frac{26.01}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

ステップ 5.2.1.4

$26.01$ を $50$ で割ります。

$f'' (- 5.1) = - \frac{26.01}{625 e^{0.5202}} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

ステップ 5.2.1.5

$e$ を概算で置き換えます。

$f'' (- 5.1) = - \frac{26.01}{625 \cdot {2.71828182}^{0.5202}} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

ステップ 5.2.1.6

$2.71828182$ を $0.5202$ 乗します。

$f'' (- 5.1) = - \frac{26.01}{625 \cdot 1.68236408} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

ステップ 5.2.1.7

$625$ に $1.68236408$ をかけます。

$f'' (- 5.1) = - \frac{26.01}{1051.47755554} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

ステップ 5.2.1.8

$26.01$ を $1051.47755554$ で割ります。

$f'' (- 5.1) = - 1 \cdot 0.02473661 + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

ステップ 5.2.1.9

$- 1$ に $0.02473661$ をかけます。

$f'' (- 5.1) = - 0.02473661 + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

ステップ 5.2.1.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}$ を分母に移動させます。

$f'' (- 5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{\frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}$

ステップ 5.2.1.11

$- 5.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{\frac{26.01}{50}}}$

ステップ 5.2.1.12

$26.01$ を $50$ で割ります。

$f'' (- 5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{0.5202}}$

ステップ 5.2.2

$- 0.02473661$ と $\frac{1}{25 e^{0.5202}}$ をたし算します。

$f'' (- 5.1) = - 0.00096055$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 0.00096055$ です。

$- 0.00096055$

ステップ 5.3

$- 5.1$ で二次導関数は $- 0.00096055$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - 5)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 5)$ で減少

ステップ 6

区間 $(- 5, 5)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = - \frac{{(0)}^{2} e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = - \frac{0^{2} e^{- \frac{0}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

ステップ 6.2.1.2

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = - \frac{0 e^{- \frac{0}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

ステップ 6.2.1.2.2

$0$ を $50$ で割ります。

$f'' (0) = - \frac{0 e^{- 0}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

ステップ 6.2.1.2.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = - \frac{0 e^{0}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

ステップ 6.2.1.2.4

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f'' (0) = - \frac{0 \cdot 1}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

ステップ 6.2.1.3

$0$ に $1$ をかけます。

$f'' (0) = - \frac{0}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

ステップ 6.2.1.4

$0$ を $625$ で割ります。

$f'' (0) = - 0 + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

ステップ 6.2.1.5

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

ステップ 6.2.1.6

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = 0 + \frac{e^{- \frac{0}{50}}}{25}$

ステップ 6.2.1.7

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.1.7.1

$0$ を $50$ で割ります。

$f'' (0) = 0 + \frac{e^{- 0}}{25}$

ステップ 6.2.1.7.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + \frac{e^{0}}{25}$

ステップ 6.2.1.7.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f'' (0) = 0 + \frac{1}{25}$

ステップ 6.2.2

$0$ と $\frac{1}{25}$ をたし算します。

$f'' (0) = \frac{1}{25}$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $\frac{1}{25}$ です。

$\frac{1}{25}$

ステップ 6.3

$0$ で二次導関数は $0.04$ です。これは正の値なので、 $(- 5, 5)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- 5, 5)$ で増加

ステップ 7

区間 $(5, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $5.1$ で置換えます。

$f'' (5.1) = - \frac{{(5.1)}^{2} e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}$ を分母に移動させます。

$f'' (5.1) = - \frac{{(5.1)}^{2}}{625 e^{\frac{{5.1}^{2}}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

ステップ 7.2.1.2

$5.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (5.1) = - \frac{{5.1}^{2}}{625 e^{\frac{26.01}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

ステップ 7.2.1.3

$5.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (5.1) = - \frac{26.01}{625 e^{\frac{26.01}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

ステップ 7.2.1.4

$26.01$ を $50$ で割ります。

$f'' (5.1) = - \frac{26.01}{625 e^{0.5202}} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

ステップ 7.2.1.5

$e$ を概算で置き換えます。

$f'' (5.1) = - \frac{26.01}{625 \cdot {2.71828182}^{0.5202}} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

ステップ 7.2.1.6

$2.71828182$ を $0.5202$ 乗します。

$f'' (5.1) = - \frac{26.01}{625 \cdot 1.68236408} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

ステップ 7.2.1.7

$625$ に $1.68236408$ をかけます。

$f'' (5.1) = - \frac{26.01}{1051.47755554} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

ステップ 7.2.1.8

$26.01$ を $1051.47755554$ で割ります。

$f'' (5.1) = - 1 \cdot 0.02473661 + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

ステップ 7.2.1.9

$- 1$ に $0.02473661$ をかけます。

$f'' (5.1) = - 0.02473661 + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

ステップ 7.2.1.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}$ を分母に移動させます。

$f'' (5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{\frac{{5.1}^{2}}{50}}}$

ステップ 7.2.1.11

$5.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{\frac{26.01}{50}}}$

ステップ 7.2.1.12

$26.01$ を $50$ で割ります。

$f'' (5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{0.5202}}$

ステップ 7.2.2

$- 0.02473661$ と $\frac{1}{25 e^{0.5202}}$ をたし算します。

$f'' (5.1) = - 0.00096055$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 0.00096055$ です。

$- 0.00096055$

ステップ 7.3

$5.1$ で二次導関数は $- 0.00096055$ です。これは負の値なので、 $(5, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(5, \infty)$ で減少

ステップ 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(- 5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ です。

$(- 5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例