微分積分例

$g (x) = 2 x^{4} + 12 x^{2} - 10$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $2 x^{4} + 12 x^{2} - 10$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{4}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 1.1.2.3

$4$ に $2$ をかけます。

$8 x^{3} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{2}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$8 x^{3} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 x^{3} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $12$ をかけます。

$8 x^{3} + 24 x + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$- 10$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 10$ の微分係数は $0$ です。

$8 x^{3} + 24 x + 0$

ステップ 1.1.4.2

$8 x^{3} + 24 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 8 x^{3} + 24 x$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $8 x^{3} + 24 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{3}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

ステップ 1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x]$

ステップ 1.2.2.3

$3$ に $8$ をかけます。

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x]$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [24 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $24 x$ の微分係数は $24 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$24 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$24 x^{2} + 24 \cdot 1$

ステップ 1.2.3.3

$24$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 24 x^{2} + 24$

ステップ 1.3

$x$ に関する $g (x)$ の二次導関数は $24 x^{2} + 24$ です。

$24 x^{2} + 24$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $24 x^{2} + 24 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$24 x^{2} + 24 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $24$ を引きます。

$24 x^{2} = - 24$

ステップ 2.3

$24 x^{2} = - 24$ の各項を $24$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$24 x^{2} = - 24$ の各項を $24$ で割ります。

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{- 24}{24}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$24$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{- 24}{24}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 24}{24}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$- 24$ を $24$ で割ります。

$x^{2} = - 1$

ステップ 2.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 1}$

ステップ 2.5

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i$

ステップ 2.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i$

ステップ 2.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i$

ステップ 2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i, - i$

ステップ 3

二次導関数が $0$ に等しくなるような値が見つかりません。

変曲点がありません

微分積分 例

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