微分積分例

$f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 1}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 1}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x^{4} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$2 \frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{(x^{4} + 1) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

$3$ を $x^{4} + 1$ の左に移動させます。

$2 \frac{3 \cdot (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

総和則では、 $x^{4} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.6.1

$4 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.6.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.4

指数を足して $x^{3}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$x^{3}$ を移動させます。

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.3

$3$ と $3$ をたし算します。

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.5

$2$ と $\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 (3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 ((3 x^{4} + 3 \cdot 1) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (3 x^{4} x^{2}) + 2 (3 \cdot 1 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.4.1.1

指数を足して $x^{4}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.4.1.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{2 (3 (x^{2} x^{4})) + 2 (3 \cdot 1 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.4.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 (3 x^{2 + 4}) + 2 (3 \cdot 1 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.4.1.1.3

$2$ と $4$ をたし算します。

$\frac{2 (3 x^{6}) + 2 (3 \cdot 1 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.4.1.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6 x^{6} + 2 (3 \cdot 1 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.4.1.3

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{6 x^{6} + 2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.4.1.4

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6 x^{6} + 6 x^{2} + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.4.1.5

$- 4$ に $2$ をかけます。

$\frac{6 x^{6} + 6 x^{2} - 8 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.4.2

$6 x^{6}$ から $8 x^{6}$ を引きます。

$\frac{- 2 x^{6} + 6 x^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.5

$2 x^{2}$ を $- 2 x^{6} + 6 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.5.1

$2 x^{2}$ を $- 2 x^{6}$ で因数分解します。

$\frac{2 x^{2} (- x^{4}) + 6 x^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.5.2

$2 x^{2}$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 x^{2} (- x^{4}) + 2 x^{2} (3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.5.3

$2 x^{2}$ を $2 x^{2} (- x^{4}) + 2 x^{2} (3)$ で因数分解します。

$\frac{2 x^{2} (- x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.6

$- 1$ を $- x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{2 x^{2} (- (x^{4}) + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.7

$3$ を $- 1 (- 3)$ に書き換えます。

$\frac{2 x^{2} (- (x^{4}) - 1 (- 3))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.8

$- 1$ を $- (x^{4}) - 1 (- 3)$ で因数分解します。

$\frac{2 x^{2} (- (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.9

$- (x^{4} - 3)$ を $- 1 (x^{4} - 3)$ に書き換えます。

$\frac{2 x^{2} (- 1 (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.10

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{(2 x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{2 x^{2} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = x^{2} (x^{4} - 3)$ および $g (x) = {(x^{4} + 1)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} (x^{4} - 3)] - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{({(x^{4} + 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.2.3

${({(x^{4} + 1)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} (x^{4} - 3)] - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} (x^{4} - 3)] - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{4} - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3] + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

総和則では、 $x^{4} - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{2} (4 x^{3} + 0) + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.4

$4 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{2} (4 x^{3}) + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.6

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$x^{3}$ を移動させます。

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{3} x^{2} \cdot 4 + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{3 + 2} \cdot 4 + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.6.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{5} \cdot 4 + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.7

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1

$4$ を $x^{5}$ の左に移動させます。

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 \cdot x^{5} + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.7.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + (x^{4} - 3) (2 x)) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.7.3

$2$ を $x^{4} - 3$ の左に移動させます。

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 \cdot (x^{4} - 3) x) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.8

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{4} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{4} + 1$ とします。

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.8.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - x^{2} (x^{4} - 3) (2 u \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.8.3

$u$ のすべての発生を $x^{4} + 1$ で置き換えます。

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - x^{2} (x^{4} - 3) (2 (x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.9

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.9.2

$x^{4} + 1$ を ${(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.2.1

$x^{4} + 1$ を ${(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x)$ で因数分解します。

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x)) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.9.2.2

$x^{4} + 1$ を $- 2 x^{2} (x^{4} - 3) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$ で因数分解します。

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x)) + (x^{4} + 1) (- 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.9.2.3

$x^{4} + 1$ を $(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x)) + (x^{4} + 1) (- 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))$ で因数分解します。

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.10

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.10.1

$x^{4} + 1$ を ${(x^{4} + 1)}^{4}$ で因数分解します。

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.10.2

共通因数を約分します。

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.10.3

式を書き換えます。

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.11

総和則では、 $x^{4} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.12

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.13

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.14

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.14.1

$4 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.14.2

$4$ に $- 2$ をかけます。

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{2} (x^{4} - 3) x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.15

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.15.1

$x^{3}$ を移動させます。

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 (x^{3} x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.15.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{3 + 2} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.15.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.16

$- 2$ と $\frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{- 2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.17

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.18.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + (2 x^{4} + 2 \cdot - 3) x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{4} x + 2 \cdot - 3 x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{4} x + 2 \cdot - 3 x) - 8 x^{5} x^{4} - 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.4

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{4} x + 2 \cdot - 3 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.18.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.18.5.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.18.5.1.1.1

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.18.5.1.1.1.1

$x$ を移動させます。

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x \cdot x^{4}) + 2 \cdot - 3 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.5.1.1.1.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.18.5.1.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{1} x^{4}) + 2 \cdot - 3 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.5.1.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{1 + 4} + 2 \cdot - 3 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.5.1.1.1.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{5} + 2 \cdot - 3 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.5.1.1.2

$2$ に $- 3$ をかけます。

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{5} - 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.5.1.2

$4 x^{5}$ と $2 x^{5}$ をたし算します。

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (6 x^{5} - 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.5.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{4} + 1) (6 x^{5} - 6 x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.18.5.1.3.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 (x^{4} (6 x^{5} - 6 x) + 1 (6 x^{5} - 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.5.1.3.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 (x^{4} (6 x^{5}) + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5} - 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.5.1.3.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 (x^{4} (6 x^{5}) + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.5.1.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.18.5.1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.18.5.1.4.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$- \frac{2 (6 x^{4} x^{5} + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.5.1.4.1.2

指数を足して $x^{4}$ に $x^{5}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.18.5.1.4.1.2.1

$x^{5}$ を移動させます。

$- \frac{2 (6 (x^{5} x^{4}) + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.5.1.4.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{2 (6 x^{5 + 4} + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.5.1.4.1.2.3

$5$ と $4$ をたし算します。

$- \frac{2 (6 x^{9} + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.5.1.4.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x^{4} x + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.5.1.4.1.4

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.18.5.1.4.1.4.1

$x$ を移動させます。

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 (x \cdot x^{4}) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.5.1.4.1.4.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.18.5.1.4.1.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 (x^{1} x^{4}) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.5.1.4.1.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x^{1 + 4} + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.5.1.4.1.4.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x^{5} + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.5.1.4.1.5

$6 x^{5}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x^{5} + 6 x^{5} + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.5.1.4.1.6

$- 6 x$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x^{5} + 6 x^{5} - 6 x) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.5.1.4.2

$- 6 x^{5}$ と $6 x^{5}$ をたし算します。

$- \frac{2 (6 x^{9} + 0 - 6 x) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.5.1.4.3

$6 x^{9}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.5.1.5

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 (6 x^{9}) + 2 (- 6 x) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.5.1.6

$6$ に $2$ をかけます。

$- \frac{12 x^{9} + 2 (- 6 x) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.5.1.7

$- 6$ に $2$ をかけます。

$- \frac{12 x^{9} - 12 x + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.5.1.8

指数を足して $x^{5}$ に $x^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.18.5.1.8.1

$x^{4}$ を移動させます。

$- \frac{12 x^{9} - 12 x + 2 (- 8 (x^{4} x^{5})) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.5.1.8.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{12 x^{9} - 12 x + 2 (- 8 x^{4 + 5}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.5.1.8.3

$4$ と $5$ をたし算します。

$- \frac{12 x^{9} - 12 x + 2 (- 8 x^{9}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.5.1.9

$- 8$ に $2$ をかけます。

$- \frac{12 x^{9} - 12 x - 16 x^{9} + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.5.1.10

$- 3$ に $- 8$ をかけます。

$- \frac{12 x^{9} - 12 x - 16 x^{9} + 2 (24 x^{5})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.5.1.11

$24$ に $2$ をかけます。

$- \frac{12 x^{9} - 12 x - 16 x^{9} + 48 x^{5}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.5.2

$12 x^{9}$ から $16 x^{9}$ を引きます。

$- \frac{- 4 x^{9} - 12 x + 48 x^{5}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.18.6.1

$4 x$ を $- 4 x^{9} - 12 x + 48 x^{5}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.18.6.1.1

$4 x$ を $- 4 x^{9}$ で因数分解します。

$- \frac{4 x (- x^{8}) - 12 x + 48 x^{5}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.6.1.2

$4 x$ を $- 12 x$ で因数分解します。

$- \frac{4 x (- x^{8}) + 4 x (- 3) + 48 x^{5}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.6.1.3

$4 x$ を $48 x^{5}$ で因数分解します。

$- \frac{4 x (- x^{8}) + 4 x (- 3) + 4 x (12 x^{4})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.6.1.4

$4 x$ を $4 x (- x^{8}) + 4 x (- 3)$ で因数分解します。

$- \frac{4 x (- x^{8} - 3) + 4 x (12 x^{4})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.6.1.5

$4 x$ を $4 x (- x^{8} - 3) + 4 x (12 x^{4})$ で因数分解します。

$- \frac{4 x (- x^{8} - 3 + 12 x^{4})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.6.2

項を並べ替えます。

$- \frac{4 x (- x^{8} + 12 x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.7

$- 1$ を $- x^{8}$ で因数分解します。

$- \frac{4 x (- (x^{8}) + 12 x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.8

$- 1$ を $12 x^{4}$ で因数分解します。

$- \frac{4 x (- (x^{8}) - (- 12 x^{4}) - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.9

$- 1$ を $- (x^{8}) - (- 12 x^{4})$ で因数分解します。

$- \frac{4 x (- (x^{8} - 12 x^{4}) - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.10

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$- \frac{4 x (- (x^{8} - 12 x^{4}) - 1 (3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.11

$- 1$ を $- (x^{8} - 12 x^{4}) - 1 (3)$ で因数分解します。

$- \frac{4 x (- (x^{8} - 12 x^{4} + 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.12

$- (x^{8} - 12 x^{4} + 3)$ を $- 1 (x^{8} - 12 x^{4} + 3)$ に書き換えます。

$- \frac{4 x (- 1 (x^{8} - 12 x^{4} + 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.13

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{(4 x) (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.14

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{(4 x) (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.15

$\frac{(4 x) (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{(4 x) (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.16

$\frac{(4 x) (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{4 x (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ です。

$\frac{4 x (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{4 x (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{4 x (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}} = 0$

ステップ 2.2

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x \approx - 1.85122502, - 0.7109206, 0, 0.7109206, 1.85122502$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 1.85122502$ を $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $- 1.85122502$ で置換えます。

$f (- 1.85122502) = \frac{2 {(- 1.85122502)}^{3}}{{(- 1.85122502)}^{4} + 1}$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$- 1.85122502$ を $3$ 乗します。

$f (- 1.85122502) = \frac{2 \cdot - 6.34421126}{{(- 1.85122502)}^{4} + 1}$

ステップ 3.1.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$- 1.85122502$ を $4$ 乗します。

$f (- 1.85122502) = \frac{2 \cdot - 6.34421126}{11.74456266 + 1}$

ステップ 3.1.2.2.2

$11.74456266$ と $1$ をたし算します。

$f (- 1.85122502) = \frac{2 \cdot - 6.34421126}{12.74456266}$

ステップ 3.1.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.1

$2$ に $- 6.34421126$ をかけます。

$f (- 1.85122502) = \frac{- 12.68842253}{12.74456266}$

ステップ 3.1.2.3.2

$- 12.68842253$ を $12.74456266$ で割ります。

$f (- 1.85122502) = - 0.99559497$

ステップ 3.1.2.4

最終的な答えは $- 0.99559497$ です。

$- 0.99559497$

ステップ 3.2

$f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ で代入して $- 1.85122502$ 求めた点は、 $(- 1.85122502, - 0.99559497)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 1.85122502, - 0.99559497)$

ステップ 3.3

$- 0.7109206$ を $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $- 0.7109206$ で置換えます。

$f (- 0.7109206) = \frac{2 {(- 0.7109206)}^{3}}{{(- 0.7109206)}^{4} + 1}$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$- 0.7109206$ を $3$ 乗します。

$f (- 0.7109206) = \frac{2 \cdot - 0.35930503}{{(- 0.7109206)}^{4} + 1}$

ステップ 3.3.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

$- 0.7109206$ を $4$ 乗します。

$f (- 0.7109206) = \frac{2 \cdot - 0.35930503}{0.25543735 + 1}$

ステップ 3.3.2.2.2

$0.25543735$ と $1$ をたし算します。

$f (- 0.7109206) = \frac{2 \cdot - 0.35930503}{1.25543735}$

ステップ 3.3.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1

$2$ に $- 0.35930503$ をかけます。

$f (- 0.7109206) = \frac{- 0.71861007}{1.25543735}$

ステップ 3.3.2.3.2

$- 0.71861007$ を $1.25543735$ で割ります。

$f (- 0.7109206) = - 0.57239819$

ステップ 3.3.2.4

最終的な答えは $- 0.57239819$ です。

$- 0.57239819$

ステップ 3.4

$f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ で代入して $- 0.7109206$ 求めた点は、 $(- 0.7109206, - 0.57239819)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 0.7109206, - 0.57239819)$

ステップ 3.5

$0$ を $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{3}}{{(0)}^{4} + 1}$

ステップ 3.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{0^{4} + 1}$

ステップ 3.5.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{0 + 1}$

ステップ 3.5.2.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{1}$

ステップ 3.5.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.1

$2$ に $0$ をかけます。

$f (0) = \frac{0}{1}$

ステップ 3.5.2.3.2

$0$ を $1$ で割ります。

$f (0) = 0$

ステップ 3.5.2.4

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 3.6

$f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 0)$

ステップ 3.7

$0.7109206$ を $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

式の変数 $x$ を $0.7109206$ で置換えます。

$f (0.7109206) = \frac{2 {(0.7109206)}^{3}}{{(0.7109206)}^{4} + 1}$

ステップ 3.7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.2.1

$0.7109206$ を $3$ 乗します。

$f (0.7109206) = \frac{2 \cdot 0.35930503}{{0.7109206}^{4} + 1}$

ステップ 3.7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.2.2.1

$0.7109206$ を $4$ 乗します。

$f (0.7109206) = \frac{2 \cdot 0.35930503}{0.25543735 + 1}$

ステップ 3.7.2.2.2

$0.25543735$ と $1$ をたし算します。

$f (0.7109206) = \frac{2 \cdot 0.35930503}{1.25543735}$

ステップ 3.7.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.2.3.1

$2$ に $0.35930503$ をかけます。

$f (0.7109206) = \frac{0.71861007}{1.25543735}$

ステップ 3.7.2.3.2

$0.71861007$ を $1.25543735$ で割ります。

$f (0.7109206) = 0.57239819$

ステップ 3.7.2.4

最終的な答えは $0.57239819$ です。

$0.57239819$

ステップ 3.8

$f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ で代入して $0.7109206$ 求めた点は、 $(0.7109206, 0.57239819)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0.7109206, 0.57239819)$

ステップ 3.9

$1.85122502$ を $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1

式の変数 $x$ を $1.85122502$ で置換えます。

$f (1.85122502) = \frac{2 {(1.85122502)}^{3}}{{(1.85122502)}^{4} + 1}$

ステップ 3.9.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.2.1

$1.85122502$ を $3$ 乗します。

$f (1.85122502) = \frac{2 \cdot 6.34421126}{{1.85122502}^{4} + 1}$

ステップ 3.9.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.2.2.1

$1.85122502$ を $4$ 乗します。

$f (1.85122502) = \frac{2 \cdot 6.34421126}{11.74456266 + 1}$

ステップ 3.9.2.2.2

$11.74456266$ と $1$ をたし算します。

$f (1.85122502) = \frac{2 \cdot 6.34421126}{12.74456266}$

ステップ 3.9.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.2.3.1

$2$ に $6.34421126$ をかけます。

$f (1.85122502) = \frac{12.68842253}{12.74456266}$

ステップ 3.9.2.3.2

$12.68842253$ を $12.74456266$ で割ります。

$f (1.85122502) = 0.99559497$

ステップ 3.9.2.4

最終的な答えは $0.99559497$ です。

$0.99559497$

ステップ 3.10

$f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ で代入して $1.85122502$ 求めた点は、 $(1.85122502, 0.99559497)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(1.85122502, 0.99559497)$

ステップ 3.11

変曲点になりうる点を判定します。

$(- 1.85122502, - 0.99559497), (- 0.7109206, - 0.57239819), (0, 0), (0.7109206, 0.57239819), (1.85122502, 0.99559497)$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 1.85122502) \cup (- 1.85122502, - 0.7109206) \cup (- 0.7109206, 0) \cup (0, 0.7109206) \cup (0.7109206, 1.85122502) \cup (1.85122502, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 1.85122502)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 1.95122502$ で置換えます。

$f'' (- 1.95122502) = \frac{4 (- 1.95122502) ({(- 1.95122502)}^{8} - 12 {(- 1.95122502)}^{4} + 3)}{{({(- 1.95122502)}^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$4$ に $- 1.95122502$ をかけます。

$f'' (- 1.95122502) = \frac{- 7.80490009 ({(- 1.95122502)}^{8} - 12 {(- 1.95122502)}^{4} + 3)}{{({(- 1.95122502)}^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 5.2.1.2

$- 7.80490009$ に ${(- 1.95122502)}^{8} - 12 {(- 1.95122502)}^{4} + 3$ をかけます。

$f'' (- 1.95122502) = \frac{- 305.72871822}{{({(- 1.95122502)}^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$- 1.95122502$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 1.95122502) = \frac{- 305.72871822}{{(14.49537411 + 1)}^{3}}$

ステップ 5.2.2.2

$14.49537411$ と $1$ をたし算します。

$f'' (- 1.95122502) = \frac{- 305.72871822}{{15.49537411}^{3}}$

ステップ 5.2.2.3

$15.49537411$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 1.95122502) = \frac{- 305.72871822}{3720.54188867}$

ステップ 5.2.3

$- 305.72871822$ を $3720.54188867$ で割ります。

$f'' (- 1.95122502) = - 0.08217316$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $- 0.08217316$ です。

$- 0.08217316$

ステップ 5.3

$- 1.95122502$ で二次導関数は $- 0.08217316$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - 1.85122502)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 1.85122502)$ で減少

ステップ 6

区間 $(- 1.85122502, - 0.7109206)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1.28107281$ で置換えます。

$f'' (- 1.28107281) = \frac{4 (- 1.28107281) ({(- 1.28107281)}^{8} - 12 {(- 1.28107281)}^{4} + 3)}{{({(- 1.28107281)}^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$4$ に $- 1.28107281$ をかけます。

$f'' (- 1.28107281) = \frac{- 5.12429125 ({(- 1.28107281)}^{8} - 12 {(- 1.28107281)}^{4} + 3)}{{({(- 1.28107281)}^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 6.2.1.2

$- 5.12429125$ に ${(- 1.28107281)}^{8} - 12 {(- 1.28107281)}^{4} + 3$ をかけます。

$f'' (- 1.28107281) = \frac{113.07346647}{{({(- 1.28107281)}^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 1.28107281$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 1.28107281) = \frac{113.07346647}{{(2.6933653 + 1)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.2

$2.6933653$ と $1$ をたし算します。

$f'' (- 1.28107281) = \frac{113.07346647}{{3.6933653}^{3}}$

ステップ 6.2.2.3

$3.6933653$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 1.28107281) = \frac{113.07346647}{50.38100121}$

ステップ 6.2.3

$113.07346647$ を $50.38100121$ で割ります。

$f'' (- 1.28107281) = 2.24436719$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $2.24436719$ です。

$2.24436719$

ステップ 6.3

$- 1.28107281$ で二次導関数は $2.24436719$ です。これは正の値なので、 $(- 1.85122502, - 0.7109206)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- 1.85122502, - 0.7109206)$ で増加

ステップ 7

区間 $(- 0.7109206, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 0.3554603$ で置換えます。

$f'' (- 0.3554603) = \frac{4 (- 0.3554603) ({(- 0.3554603)}^{8} - 12 {(- 0.3554603)}^{4} + 3)}{{({(- 0.3554603)}^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$4$ に $- 0.3554603$ をかけます。

$f'' (- 0.3554603) = \frac{- 1.4218412 ({(- 0.3554603)}^{8} - 12 {(- 0.3554603)}^{4} + 3)}{{({(- 0.3554603)}^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 7.2.1.2

$- 1.4218412$ に ${(- 0.3554603)}^{8} - 12 {(- 0.3554603)}^{4} + 3$ をかけます。

$f'' (- 0.3554603) = \frac{- 3.9934925}{{({(- 0.3554603)}^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$- 0.3554603$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 0.3554603) = \frac{- 3.9934925}{{(0.01596483 + 1)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.2

$0.01596483$ と $1$ をたし算します。

$f'' (- 0.3554603) = \frac{- 3.9934925}{{1.01596483}^{3}}$

ステップ 7.2.2.3

$1.01596483$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 0.3554603) = \frac{- 3.9934925}{1.0486632}$

ステップ 7.2.3

$- 3.9934925$ を $1.0486632$ で割ります。

$f'' (- 0.3554603) = - 3.80817454$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $- 3.80817454$ です。

$- 3.80817454$

ステップ 7.3

$- 0.3554603$ で二次導関数は $- 3.80817454$ です。これは負の値なので、 $(- 0.7109206, 0)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- 0.7109206, 0)$ で減少

ステップ 8

区間 $(0, 0.7109206)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $0.3554603$ で置換えます。

$f'' (0.3554603) = \frac{4 (0.3554603) ({(0.3554603)}^{8} - 12 {(0.3554603)}^{4} + 3)}{{({(0.3554603)}^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$4$ に $0.3554603$ をかけます。

$f'' (0.3554603) = \frac{1.4218412 ({0.3554603}^{8} - 12 \cdot {0.3554603}^{4} + 3)}{{({0.3554603}^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 8.2.1.2

$1.4218412$ に ${0.3554603}^{8} - 12 \cdot {0.3554603}^{4} + 3$ をかけます。

$f'' (0.3554603) = \frac{3.9934925}{{({0.3554603}^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 8.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$0.3554603$ を $4$ 乗します。

$f'' (0.3554603) = \frac{3.9934925}{{(0.01596483 + 1)}^{3}}$

ステップ 8.2.2.2

$0.01596483$ と $1$ をたし算します。

$f'' (0.3554603) = \frac{3.9934925}{{1.01596483}^{3}}$

ステップ 8.2.2.3

$1.01596483$ を $3$ 乗します。

$f'' (0.3554603) = \frac{3.9934925}{1.0486632}$

ステップ 8.2.3

$3.9934925$ を $1.0486632$ で割ります。

$f'' (0.3554603) = 3.80817454$

ステップ 8.2.4

最終的な答えは $3.80817454$ です。

$3.80817454$

ステップ 8.3

$0.3554603$ で二次導関数は $3.80817454$ です。これは正の値なので、 $(0, 0.7109206)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(0, 0.7109206)$ で増加

ステップ 9

区間 $(0.7109206, 1.85122502)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

式の変数 $x$ を $1.28107281$ で置換えます。

$f'' (1.28107281) = \frac{4 (1.28107281) ({(1.28107281)}^{8} - 12 {(1.28107281)}^{4} + 3)}{{({(1.28107281)}^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 9.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1

$4$ に $1.28107281$ をかけます。

$f'' (1.28107281) = \frac{5.12429125 ({1.28107281}^{8} - 12 \cdot {1.28107281}^{4} + 3)}{{({1.28107281}^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 9.2.1.2

$5.12429125$ に ${1.28107281}^{8} - 12 \cdot {1.28107281}^{4} + 3$ をかけます。

$f'' (1.28107281) = \frac{- 113.07346647}{{({1.28107281}^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 9.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$1.28107281$ を $4$ 乗します。

$f'' (1.28107281) = \frac{- 113.07346647}{{(2.6933653 + 1)}^{3}}$

ステップ 9.2.2.2

$2.6933653$ と $1$ をたし算します。

$f'' (1.28107281) = \frac{- 113.07346647}{{3.6933653}^{3}}$

ステップ 9.2.2.3

$3.6933653$ を $3$ 乗します。

$f'' (1.28107281) = \frac{- 113.07346647}{50.38100121}$

ステップ 9.2.3

$- 113.07346647$ を $50.38100121$ で割ります。

$f'' (1.28107281) = - 2.24436719$

ステップ 9.2.4

最終的な答えは $- 2.24436719$ です。

$- 2.24436719$

ステップ 9.3

$1.28107281$ で二次導関数は $- 2.24436719$ です。これは負の値なので、 $(0.7109206, 1.85122502)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(0.7109206, 1.85122502)$ で減少

ステップ 10

区間 $(1.85122502, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

式の変数 $x$ を $1.95122502$ で置換えます。

$f'' (1.95122502) = \frac{4 (1.95122502) ({(1.95122502)}^{8} - 12 {(1.95122502)}^{4} + 3)}{{({(1.95122502)}^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 10.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.1

$4$ に $1.95122502$ をかけます。

$f'' (1.95122502) = \frac{7.80490009 ({1.95122502}^{8} - 12 \cdot {1.95122502}^{4} + 3)}{{({1.95122502}^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 10.2.1.2

$7.80490009$ に ${1.95122502}^{8} - 12 \cdot {1.95122502}^{4} + 3$ をかけます。

$f'' (1.95122502) = \frac{305.72871822}{{({1.95122502}^{4} + 1)}^{3}}$

ステップ 10.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

$1.95122502$ を $4$ 乗します。

$f'' (1.95122502) = \frac{305.72871822}{{(14.49537411 + 1)}^{3}}$

ステップ 10.2.2.2

$14.49537411$ と $1$ をたし算します。

$f'' (1.95122502) = \frac{305.72871822}{{15.49537411}^{3}}$

ステップ 10.2.2.3

$15.49537411$ を $3$ 乗します。

$f'' (1.95122502) = \frac{305.72871822}{3720.54188869}$

ステップ 10.2.3

$305.72871822$ を $3720.54188869$ で割ります。

$f'' (1.95122502) = 0.08217316$

ステップ 10.2.4

最終的な答えは $0.08217316$ です。

$0.08217316$

ステップ 10.3

$1.95122502$ で二次導関数は $0.08217316$ です。これは正の値なので、 $(1.85122502, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(1.85122502, \infty)$ で増加

ステップ 11

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(- 1.85122502, - 0.99559497), (- 0.7109206, - 0.57239819), (0, 0), (0.7109206, 0.57239819), (1.85122502, 0.99559497)$ です。

$(- 1.85122502, - 0.99559497), (- 0.7109206, - 0.57239819), (0, 0), (0.7109206, 0.57239819), (1.85122502, 0.99559497)$

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例