微分積分例

$\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$

ステップ 1

式 $\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ が未定義である場所を求めます。

$- \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$

ステップ 2

$\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ $\to$ $- \infty$ を左から $x$ $\to$ $- \frac{1}{2}$ 、 $\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ を右から $x$ $\to$ $- \frac{1}{2}$ としているので、 $x = - \frac{1}{2}$ は垂直漸近線です。

$x = - \frac{1}{2}$

ステップ 3

$\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ を左から $x$ $\to$ $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ を右から $x$ $\to$ $\frac{1}{2}$ としているので、 $x = \frac{1}{2}$ は垂直漸近線です。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 4

すべての垂直漸近線のリスト：

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

ステップ 5

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$

ステップ 5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$4 x^{2}$ を ${(2 x)}^{2}$ に書き換えます。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{{(2 x)}^{2} - 1}}$

ステップ 5.2.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{{(2 x)}^{2} - 1^{2}}}$

ステップ 5.2.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2 x$ であり、 $b = 1$ です。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{(2 x + 1) (2 x - 1)}}$

ステップ 5.3

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x = \sqrt{x^{2}}$ です。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

ステップ 5.4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$x$ の共通因数を約分します。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

ステップ 5.4.2

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

ステップ 5.4.3

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

ステップ 5.4.4

根号の下に極限を移動させます。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

ステップ 5.5

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

ステップ 5.5.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.2.1

分配則を当てはめます。

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

ステップ 5.5.1.2.2

分配則を当てはめます。

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 2 x \cdot 2 x + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

ステップ 5.5.1.2.3

分配則を当てはめます。

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 2 x \cdot 2 x + 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

ステップ 5.5.1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.2.4.1

$x$ を移動させます。

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

ステップ 5.5.1.2.4.2

$x$ を移動させます。

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

ステップ 5.5.1.2.4.3

$2$ に $2$ をかけます。

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

ステップ 5.5.1.2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{1} x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

ステップ 5.5.1.2.6

$x$ を $1$ 乗します。

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{1} x^{1} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

ステップ 5.5.1.2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

ステップ 5.5.1.2.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.2.8.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

ステップ 5.5.1.2.8.2

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.2.8.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

ステップ 5.5.1.2.8.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.2.8.2.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 2 x + 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

ステップ 5.5.1.2.8.2.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 2 x + 2 x - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

ステップ 5.5.1.2.8.3

$- 2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} + 0 - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

ステップ 5.5.1.2.8.4

$0$ から $1$ を引きます。

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

ステップ 5.5.1.2.9

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

ステップ 5.5.1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

ステップ 5.5.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

ステップ 5.5.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 5.5.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1

分母と分子を微分します。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 5.5.3.2

$f (x) = 2 x + 1$ および $g (x) = 2 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 5.5.3.3

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 5.5.3.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 5.5.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 5.5.3.6

$2$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 5.5.3.7

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 5.5.3.8

$2$ と $0$ をたし算します。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 5.5.3.9

$2$ を $2 x + 1$ の左に移動させます。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot (2 x + 1) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 5.5.3.10

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 5.5.3.11

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 5.5.3.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 5.5.3.13

$2$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 5.5.3.14

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 5.5.3.15

$2$ と $0$ をたし算します。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 5.5.3.16

$2$ を $2 x - 1$ の左に移動させます。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + 2 \cdot (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 5.5.3.17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.17.1

分配則を当てはめます。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 2 x + 2 \cdot 1 + 2 (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 5.5.3.17.2

分配則を当てはめます。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 2 x + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 5.5.3.17.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.17.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 5.5.3.17.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 2 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 5.5.3.17.3.3

$2$ に $2$ をかけます。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 2 + 4 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 5.5.3.17.3.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 2 + 4 x - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 5.5.3.17.3.5

$4 x$ と $4 x$ をたし算します。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{8 x + 2 - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 5.5.3.17.3.6

$2$ から $2$ を引きます。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{8 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 5.5.3.17.3.7

$8 x$ と $0$ をたし算します。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 5.5.3.18

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{8 x}{2 x}}}$

ステップ 5.5.4

約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.1

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.1.1

$2$ を $8 x$ で因数分解します。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 x}}}$

ステップ 5.5.4.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.1.2.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 (x)}}}$

ステップ 5.5.4.1.2.2

共通因数を約分します。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 x}}}$

ステップ 5.5.4.1.2.3

式を書き換えます。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x}}}$

ステップ 5.5.4.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x}}}$

ステップ 5.5.4.2.2

$4$ を $1$ で割ります。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 4}}$

ステップ 5.6

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$2 \frac{1}{\sqrt{4}}$

ステップ 5.6.2

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.2.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$2 \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 5.6.2.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$2 (\frac{1}{2})$

ステップ 5.6.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.2.2.1

共通因数を約分します。

$2 (\frac{1}{2})$

ステップ 5.6.2.2.2

式を書き換えます。

$1$

ステップ 6

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$

ステップ 6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$4 x^{2}$ を ${(2 x)}^{2}$ に書き換えます。

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{{(2 x)}^{2} - 1}}$

ステップ 6.2.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{{(2 x)}^{2} - 1^{2}}}$

ステップ 6.2.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2 x$ であり、 $b = 1$ です。

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{(2 x + 1) (2 x - 1)}}$

ステップ 6.3

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x = - \sqrt{x^{2}}$ です。

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

ステップ 6.4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$x$ の共通因数を約分します。

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

ステップ 6.4.2

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

ステップ 6.4.3

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$2 \frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

ステップ 6.4.4

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 \frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

ステップ 6.4.5

根号の下に極限を移動させます。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

ステップ 6.5

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

ステップ 6.5.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1.2.1

分配則を当てはめます。

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

ステップ 6.5.1.2.2

分配則を当てはめます。

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 2 x \cdot 2 x + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

ステップ 6.5.1.2.3

分配則を当てはめます。

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 2 x \cdot 2 x + 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

ステップ 6.5.1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1.2.4.1

$x$ を移動させます。

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

ステップ 6.5.1.2.4.2

$x$ を移動させます。

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

ステップ 6.5.1.2.4.3

$2$ に $2$ をかけます。

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

ステップ 6.5.1.2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{1} x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

ステップ 6.5.1.2.6

$x$ を $1$ 乗します。

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{1} x^{1} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

ステップ 6.5.1.2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

ステップ 6.5.1.2.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1.2.8.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

ステップ 6.5.1.2.8.2

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1.2.8.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} - 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

ステップ 6.5.1.2.8.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1.2.8.2.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} - 2 x + 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

ステップ 6.5.1.2.8.2.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} - 2 x + 2 x - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

ステップ 6.5.1.2.8.3

$- 2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} + 0 - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

ステップ 6.5.1.2.8.4

$0$ から $1$ を引きます。

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

ステップ 6.5.1.2.9

首位係数が正である偶数次数の多項式の負の無限大における極限は無限大です。

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

ステップ 6.5.1.3

首位係数が正である偶数次数の多項式の負の無限大における極限は無限大です。

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

ステップ 6.5.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

ステップ 6.5.2

$lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 6.5.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.3.1

分母と分子を微分します。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 6.5.3.2

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 6.5.3.3

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 6.5.3.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 6.5.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 6.5.3.6

$2$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 6.5.3.7

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 6.5.3.8

$2$ と $0$ をたし算します。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 6.5.3.9

$2$ を $2 x + 1$ の左に移動させます。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot (2 x + 1) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 6.5.3.10

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 6.5.3.11

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 6.5.3.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 6.5.3.13

$2$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 6.5.3.14

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 6.5.3.15

$2$ と $0$ をたし算します。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 6.5.3.16

$2$ を $2 x - 1$ の左に移動させます。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + 2 \cdot (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 6.5.3.17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.3.17.1

分配則を当てはめます。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 2 x + 2 \cdot 1 + 2 (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 6.5.3.17.2

分配則を当てはめます。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 2 x + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 6.5.3.17.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.3.17.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 6.5.3.17.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 2 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 6.5.3.17.3.3

$2$ に $2$ をかけます。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 2 + 4 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 6.5.3.17.3.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 2 + 4 x - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 6.5.3.17.3.5

$4 x$ と $4 x$ をたし算します。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{8 x + 2 - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 6.5.3.17.3.6

$2$ から $2$ を引きます。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{8 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 6.5.3.17.3.7

$8 x$ と $0$ をたし算します。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 6.5.3.18

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{8 x}{2 x}}}$

ステップ 6.5.4

約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.4.1

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.4.1.1

$2$ を $8 x$ で因数分解します。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 x}}}$

ステップ 6.5.4.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.4.1.2.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 (x)}}}$

ステップ 6.5.4.1.2.2

共通因数を約分します。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 x}}}$

ステップ 6.5.4.1.2.3

式を書き換えます。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x}{x}}}$

ステップ 6.5.4.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.4.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x}{x}}}$

ステップ 6.5.4.2.2

$4$ を $1$ で割ります。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 4}}$

ステップ 6.6

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$2 \frac{1}{- \sqrt{4}}$

ステップ 6.6.2

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.2.1

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.2.1.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$2 \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{4}}$

ステップ 6.6.2.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$2 (- \frac{1}{\sqrt{4}})$

ステップ 6.6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.2.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$2 (- \frac{1}{\sqrt{2^{2}}})$

ステップ 6.6.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$2 (- \frac{1}{2})$

ステップ 6.6.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.2.3.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$2 (\frac{- 1}{2})$

ステップ 6.6.2.3.2

共通因数を約分します。

$2 (\frac{- 1}{2})$

ステップ 6.6.2.3.3

式を書き換えます。

$- 1$

ステップ 7

水平漸近線のリスト：

$y = 1, - 1$

ステップ 8

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。これはラジカルを含む式なので、多項式の割り算はできません。

斜めの漸近線を求められません

ステップ 9

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

水平漸近線： $y = 1, - 1$

斜めの漸近線を求められません

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例