微分積分例

$f (x) = \ln (x)$ , $[1, 7]$

ステップ 1

$f$ が区間 $[a, b]$ で連続し、 $(a, b)$ で微分可能ならば、区間 $(a, b)$ 内に $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ であるような少なくとも1個の実数 $c$ が存在します。平均値の定理は、 $x = c$ における曲線の正切の傾きと、点 $(a, f (a))$ と点 $(b, f (b))$ を通る直線の傾きの関係を表しています。

$f (x)$ が $[a, b]$ で連続するならば

$f (x)$ が $(a, b)$ で微分可能なとき、

次に、少なくとも $[a, b]$ に1点 $c$ があります： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ です。

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ が連続関数か確認します。

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ステップ 2.1

関数が $[1, 7]$ で連続か求めるために、 $f (x) = \ln (x)$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.1.1

$\ln (x)$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$x > 0$

ステップ 2.1.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > 0}$

区間記号：

$(0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > 0}$

ステップ 2.2

$f (x)$ は $[1, 7]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 3

微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$f' (x) = \frac{1}{x}$

ステップ 3.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{x}$

ステップ 4

微分係数が $(1, 7)$ 上で連続か求めます。

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ステップ 4.1

関数が $(1, 7)$ で連続か求めるために、 $f' (x) = \frac{1}{x}$ の定義域を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\frac{1}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 4.1.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

ステップ 4.2

$f' (x)$ は $(1, 7)$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 5

微分係数が $(1, 7)$ で連続なので、関数は $(1, 7)$ で微分可能です。

関数は微分可能です。

ステップ 6

$f (x)$ は平均値の定理の2つの条件を満たします。 $[1, 7]$ で連続し、 $(1, 7)$ で微分可能です。

$f (x)$ は $[1, 7]$ で連続し、 $(1, 7)$ で微分可能です。

ステップ 7

区間 $[1, 7]$ から $f (a)$ の値を求めます。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \ln (1)$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$f (1) = 0$

ステップ 7.2.2

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 8

区間 $[1, 7]$ から $f (b)$ の値を求めます。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $7$ で置換えます。

$f (7) = \ln (7)$

ステップ 8.2

最終的な答えは $\ln (7)$ です。

$\ln (7)$

ステップ 9

$x$ について $\frac{1}{x} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ を解きます。 $\frac{1}{x} = \frac{- (f (7) + f (1))}{- (7 + 1)}$ です。

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ステップ 9.1

各項を因数分解します。

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ステップ 9.1.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (7) + 0}{(7) - (1)}$

ステップ 9.1.2

$\ln (7)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (7)}{(7) - (1)}$

ステップ 9.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (7)}{7 - 1}$

ステップ 9.1.4

$7$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (7)}{6}$

ステップ 9.1.5

$\frac{\ln (7)}{6}$ を $\frac{1}{6} \ln (7)$ に書き換えます。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{6} \ln (7)$

ステップ 9.1.6

対数の中の $\frac{1}{6}$ を移動させて $\frac{1}{6} \ln (7)$ を簡約します。

$\frac{1}{x} = \ln (7^{\frac{1}{6}})$

ステップ 9.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 9.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x, 1$

ステップ 9.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x$

ステップ 9.3

$\frac{1}{x} = \ln (7^{\frac{1}{6}})$ の各項に $x$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 9.3.1

$\frac{1}{x} = \ln (7^{\frac{1}{6}})$ の各項に $x$ を掛けます。

$\frac{1}{x} x = \ln (7^{\frac{1}{6}}) x$

ステップ 9.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 9.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x} x = \ln (7^{\frac{1}{6}}) x$

ステップ 9.3.2.1.2

式を書き換えます。

$1 = \ln (7^{\frac{1}{6}}) x$

ステップ 9.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 9.3.3.1

$\ln (7^{\frac{1}{6}}) x$ の因数を並べ替えます。

$1 = x \ln (7^{\frac{1}{6}})$

ステップ 9.4

方程式を解きます。

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ステップ 9.4.1

方程式を $x \ln (7^{\frac{1}{6}}) = 1$ として書き換えます。

$x \ln (7^{\frac{1}{6}}) = 1$

ステップ 9.4.2

$x \ln (7^{\frac{1}{6}}) = 1$ の各項を $\ln (7^{\frac{1}{6}})$ で割り、簡約します。

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ステップ 9.4.2.1

$x \ln (7^{\frac{1}{6}}) = 1$ の各項を $\ln (7^{\frac{1}{6}})$ で割ります。

$\frac{x \ln (7^{\frac{1}{6}})}{\ln (7^{\frac{1}{6}})} = \frac{1}{\ln (7^{\frac{1}{6}})}$

ステップ 9.4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 9.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \ln (7^{\frac{1}{6}})}{\ln (7^{\frac{1}{6}})} = \frac{1}{\ln (7^{\frac{1}{6}})}$

ステップ 9.4.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{\ln (7^{\frac{1}{6}})}$

ステップ 10

$x = \frac{1}{\ln (7^{\frac{1}{6}})}$ において求められた接線があり、端点 $a = 1$ と $b = 7$ を通る線と平行です。

$x = \frac{1}{\ln (7^{\frac{1}{6}})}$ における接線があり、端点 $a = 1$ と $b = 7$ を通る線と平行です。

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例