微分積分例

$f (x) = 4 \sqrt{4 - x^{2}}$ , $[0, 2]$

ステップ 1

$f$ が区間 $[a, b]$ で連続し、 $(a, b)$ で微分可能ならば、区間 $(a, b)$ 内に $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ であるような少なくとも1個の実数 $c$ が存在します。平均値の定理は、 $x = c$ における曲線の正切の傾きと、点 $(a, f (a))$ と点 $(b, f (b))$ を通る直線の傾きの関係を表しています。

$f (x)$ が $[a, b]$ で連続するならば

$f (x)$ が $(a, b)$ で微分可能なとき、

次に、少なくとも $[a, b]$ に1点 $c$ があります： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ です。

ステップ 2

$f (x) = 4 \sqrt{4 - x^{2}}$ が連続関数か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

関数が $[0, 2]$ で連続か求めるために、 $f (x) = 4 \sqrt{4 - x^{2}}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$\sqrt{4 - x^{2}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$4 - x^{2} \geq 0$

ステップ 2.1.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

不等式の両辺から $4$ を引きます。

$- x^{2} \geq - 4$

ステップ 2.1.2.2

$- x^{2} \geq - 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$- x^{2} \geq - 4$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 2.1.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 2.1.2.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} \leq \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 2.1.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.3.1

$- 4$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} \leq 4$

ステップ 2.1.2.3

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{4}$

ステップ 2.1.2.4

方程式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \leq \sqrt{4}$

ステップ 2.1.2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.2.1

$\sqrt{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.2.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$| x | \leq \sqrt{2^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \leq | 2 |$

ステップ 2.1.2.4.2.1.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$| x | \leq 2$

ステップ 2.1.2.5

$| x | \leq 2$ を区分で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 2.1.2.5.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x \leq 2$

ステップ 2.1.2.5.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 2.1.2.5.4

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x \leq 2$

ステップ 2.1.2.5.5

区分で書きます。

${\begin{cases} x \leq 2 & x \geq 0 \\ - x \leq 2 & x < 0 \end{cases}$

ステップ 2.1.2.6

$x \leq 2$ と $x \geq 0$ の交点を求めます。

$0 \leq x \leq 2$

ステップ 2.1.2.7

$x < 0$ のとき、 $- x \leq 2$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.7.1

$- x \leq 2$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.7.1.1

$- x \leq 2$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2}{- 1}$

ステップ 2.1.2.7.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.7.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \geq \frac{2}{- 1}$

ステップ 2.1.2.7.1.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{2}{- 1}$

ステップ 2.1.2.7.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.7.1.3.1

$2$ を $- 1$ で割ります。

$x \geq - 2$

ステップ 2.1.2.7.2

$x \geq - 2$ と $x < 0$ の交点を求めます。

$- 2 \leq x < 0$

ステップ 2.1.2.8

解の和集合を求めます。

$- 2 \leq x \leq 2$

ステップ 2.1.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- 2, 2]$

集合の内包的記法：

${x | - 2 \leq x \leq 2}$

区間記号：

$[- 2, 2]$

集合の内包的記法：

${x | - 2 \leq x \leq 2}$

ステップ 2.2

$f (x)$ は $[0, 2]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 3

微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 - x^{2}}$ を ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [4 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.1.1.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 4 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 - x^{2}$ とします。

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

ステップ 3.1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

ステップ 3.1.2.3

$u$ のすべての発生を $4 - x^{2}$ で置き換えます。

$4 (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

ステップ 3.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$4 (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

ステップ 3.1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$4 (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

ステップ 3.1.5

公分母の分子をまとめます。

$4 (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

ステップ 3.1.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$4 (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

ステップ 3.1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$4 (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

ステップ 3.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$4 (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

ステップ 3.1.8

$\frac{1}{2}$ と ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$4 (\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

ステップ 3.1.9

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$4 (\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

ステップ 3.1.10

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{4}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

ステップ 3.1.11

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

ステップ 3.1.12

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.12.1

$2$ を $2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

ステップ 3.1.12.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

ステップ 3.1.12.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

ステップ 3.1.13

総和則では、 $4 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 3.1.14

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 3.1.15

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 3.1.16

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.1.17

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

ステップ 3.1.18

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.18.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

ステップ 3.1.18.2

$- 2$ と $\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 2 \cdot 2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

ステップ 3.1.18.3

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

ステップ 3.1.18.4

$\frac{- 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.1.18.5

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ です。

$- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4

微分係数が $(0, 2)$ 上で連続か求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

関数が $(0, 2)$ で連続か求めるために、 $f' (x) = - \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$- \frac{4 x}{\sqrt{{(4 - x^{2})}^{1}}}$

ステップ 4.1.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$- \frac{4 x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

ステップ 4.1.2

$\sqrt{4 - x^{2}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$4 - x^{2} \geq 0$

ステップ 4.1.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

不等式の両辺から $4$ を引きます。

$- x^{2} \geq - 4$

ステップ 4.1.3.2

$- x^{2} \geq - 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.2.1

$- x^{2} \geq - 4$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 4.1.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 4.1.3.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} \leq \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 4.1.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.2.3.1

$- 4$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} \leq 4$

ステップ 4.1.3.3

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{4}$

ステップ 4.1.3.4

方程式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.4.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \leq \sqrt{4}$

ステップ 4.1.3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.4.2.1

$\sqrt{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.4.2.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$| x | \leq \sqrt{2^{2}}$

ステップ 4.1.3.4.2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \leq | 2 |$

ステップ 4.1.3.4.2.1.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$| x | \leq 2$

ステップ 4.1.3.5

$| x | \leq 2$ を区分で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.5.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 4.1.3.5.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x \leq 2$

ステップ 4.1.3.5.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 4.1.3.5.4

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x \leq 2$

ステップ 4.1.3.5.5

区分で書きます。

${\begin{cases} x \leq 2 & x \geq 0 \\ - x \leq 2 & x < 0 \end{cases}$

ステップ 4.1.3.6

$x \leq 2$ と $x \geq 0$ の交点を求めます。

$0 \leq x \leq 2$

ステップ 4.1.3.7

$x < 0$ のとき、 $- x \leq 2$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.7.1

$- x \leq 2$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.7.1.1

$- x \leq 2$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2}{- 1}$

ステップ 4.1.3.7.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.7.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \geq \frac{2}{- 1}$

ステップ 4.1.3.7.1.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{2}{- 1}$

ステップ 4.1.3.7.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.7.1.3.1

$2$ を $- 1$ で割ります。

$x \geq - 2$

ステップ 4.1.3.7.2

$x \geq - 2$ と $x < 0$ の交点を求めます。

$- 2 \leq x < 0$

ステップ 4.1.3.8

解の和集合を求めます。

$- 2 \leq x \leq 2$

ステップ 4.1.4

$\frac{4 x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt{4 - x^{2}} = 0$

ステップ 4.1.5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{4 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

ステップ 4.1.5.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 - x^{2}}$ を ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 4.1.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.2.2.1

${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.2.2.1.1

${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 4.1.5.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 4.1.5.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(4 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

ステップ 4.1.5.2.2.1.2

簡約します。

$4 - x^{2} = 0^{2}$

ステップ 4.1.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 - x^{2} = 0$

ステップ 4.1.5.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.3.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$- x^{2} = - 4$

ステップ 4.1.5.3.2

$- x^{2} = - 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.3.2.1

$- x^{2} = - 4$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 4.1.5.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.3.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 4.1.5.3.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 4.1.5.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.3.2.3.1

$- 4$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = 4$

ステップ 4.1.5.3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{4}$

ステップ 4.1.5.3.4

$\pm \sqrt{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.3.4.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

ステップ 4.1.5.3.4.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2$

ステップ 4.1.5.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2$

ステップ 4.1.5.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2$

ステップ 4.1.5.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2, - 2$

ステップ 4.1.6

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- 2, 2)$

集合の内包的記法：

${x | - 2 < x < 2}$

区間記号：

$(- 2, 2)$

集合の内包的記法：

${x | - 2 < x < 2}$

ステップ 4.2

$f' (x)$ は $(0, 2)$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 5

微分係数が $(0, 2)$ で連続なので、関数は $(0, 2)$ で微分可能です。

関数は微分可能です。

ステップ 6

$f (x)$ は平均値の定理の2つの条件を満たします。 $[0, 2]$ で連続し、 $(0, 2)$ で微分可能です。

$f (x)$ は $[0, 2]$ で連続し、 $(0, 2)$ で微分可能です。

ステップ 7

区間 $[0, 2]$ から $f (a)$ の値を求めます。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = 4 \sqrt{4 - {(0)}^{2}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 4 \sqrt{4 - 0}$

ステップ 7.2.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 4 \sqrt{4 + 0}$

ステップ 7.2.3

$4$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 4 \sqrt{4}$

ステップ 7.2.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (0) = 4 \sqrt{2^{2}}$

ステップ 7.2.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (0) = 4 \cdot 2$

ステップ 7.2.6

$4$ に $2$ をかけます。

$f (0) = 8$

ステップ 7.2.7

最終的な答えは $8$ です。

$8$

ステップ 8

区間 $[0, 2]$ から $f (b)$ の値を求めます。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = 4 \sqrt{4 - {(2)}^{2}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f (2) = 4 \sqrt{4 - 1 \cdot 4}$

ステップ 8.2.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f (2) = 4 \sqrt{4 - 4}$

ステップ 8.2.3

$4$ から $4$ を引きます。

$f (2) = 4 \sqrt{0}$

ステップ 8.2.4

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$f (2) = 4 \sqrt{0^{2}}$

ステップ 8.2.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (2) = 4 \cdot 0$

ステップ 8.2.6

$4$ に $0$ をかけます。

$f (2) = 0$

ステップ 8.2.7

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 9

$x$ について $- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ を解きます。 $- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- (f (2) + f (0))}{- (2 + 0)}$ です。

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ステップ 9.1

$\frac{(0) - (8)}{(2) - (0)}$ を簡約します。

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ステップ 9.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1.1

$- 1$ に $8$ をかけます。

$- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{0 - 8}{2 - (0)}$

ステップ 9.1.1.2

$0$ から $8$ を引きます。

$- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 8}{2 - (0)}$

ステップ 9.1.2

分母を簡約します。

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ステップ 9.1.2.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 8}{2 + 0}$

ステップ 9.1.2.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 8}{2}$

ステップ 9.1.3

$- 8$ を $2$ で割ります。

$- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = - 4$

ステップ 9.2

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x = \sqrt{2}$

ステップ 10

$x = \sqrt{2}$ において求められた接線があり、端点 $a = 0$ と $b = 2$ を通る線と平行です。

$x = \sqrt{2}$ における接線があり、端点 $a = 0$ と $b = 2$ を通る線と平行です。

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例