微分積分例

$f (x) = 2 \sin (x)$ , $[0, 2 π]$

ステップ 1

$f$ が区間 $[a, b]$ で連続し、 $(a, b)$ で微分可能ならば、区間 $(a, b)$ 内に $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ であるような少なくとも1個の実数 $c$ が存在します。平均値の定理は、 $x = c$ における曲線の正切の傾きと、点 $(a, f (a))$ と点 $(b, f (b))$ を通る直線の傾きの関係を表しています。

$f (x)$ が $[a, b]$ で連続するならば

$f (x)$ が $(a, b)$ で微分可能なとき、

次に、少なくとも $[a, b]$ に1点 $c$ があります： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ です。

ステップ 2

$f (x) = 2 \sin (x)$ が連続関数か確認します。

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ステップ 2.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 2.2

$f (x)$ は $[0, 2 π]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 3

微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 3.1.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \sin (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 3.1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f' (x) = 2 \cos (x)$

ステップ 3.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 \cos (x)$ です。

$2 \cos (x)$

ステップ 4

微分係数が $(0, 2 π)$ 上で連続か求めます。

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ステップ 4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4.2

$f' (x)$ は $(0, 2 π)$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 5

微分係数が $(0, 2 π)$ で連続なので、関数は $(0, 2 π)$ で微分可能です。

関数は微分可能です。

ステップ 6

$f (x)$ は平均値の定理の2つの条件を満たします。 $[0, 2 π]$ で連続し、 $(0, 2 π)$ で微分可能です。

$f (x)$ は $[0, 2 π]$ で連続し、 $(0, 2 π)$ で微分可能です。

ステップ 7

区間 $[0, 2 π]$ から $f (a)$ の値を求めます。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = 2 \sin (0)$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$f (0) = 2 \cdot 0$

ステップ 7.2.2

$2$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 8

$x$ について $2 \cos (x) = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ を解きます。 $2 \cos (x) = \frac{- (f (2 π) + f (0))}{- (2 π + 0)}$ です。

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ステップ 8.1

簡約します。

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ステップ 8.1.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$2 \cos (x) = \frac{0 + 0}{2 π - (0)}$

ステップ 8.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$2 \cos (x) = \frac{0 + 0}{2 π + 0}$

ステップ 8.1.3

今日数因数で約分することで式 $\frac{0 + 0}{2 π + 0}$ を約分します。

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ステップ 8.1.3.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$2 \cos (x) = \frac{2 (0) + 0}{2 π + 0}$

ステップ 8.1.3.2

$2$ を $0$ で因数分解します。

$2 \cos (x) = \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{2 π + 0}$

ステップ 8.1.3.3

$2$ を $2 \cdot 0 + 2 \cdot 0$ で因数分解します。

$2 \cos (x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 π + 0}$

ステップ 8.1.3.4

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$2 \cos (x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (π) + 0}$

ステップ 8.1.3.5

$2$ を $0$ で因数分解します。

$2 \cos (x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (π) + 2 (0)}$

ステップ 8.1.3.6

$2$ を $2 (π) + 2 (0)$ で因数分解します。

$2 \cos (x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (π + 0)}$

ステップ 8.1.3.7

共通因数を約分します。

$2 \cos (x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (π + 0)}$

ステップ 8.1.3.8

式を書き換えます。

$2 \cos (x) = \frac{0 + 0}{π + 0}$

ステップ 8.1.4

$0$ と $0$ をたし算します。

$2 \cos (x) = \frac{0}{π + 0}$

ステップ 8.1.5

$π$ と $0$ をたし算します。

$2 \cos (x) = \frac{0}{π}$

ステップ 8.1.6

$0$ を $π$ で割ります。

$2 \cos (x) = 0$

ステップ 8.2

$2 \cos (x) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.2.1

$2 \cos (x) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 8.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 8.2.2.1.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{0}{2}$

ステップ 8.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.2.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$\cos (x) = 0$

ステップ 8.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (0)$

ステップ 8.4

右辺を簡約します。

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ステップ 8.4.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 8.5

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 8.6

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 8.6.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 8.6.2

分数をまとめます。

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ステップ 8.6.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 8.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 8.6.3

分子を簡約します。

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ステップ 8.6.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 8.6.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 8.7

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 8.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 8.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 8.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 8.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 8.8

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8.9

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

$x = \frac{π}{2} + π n$ において求められた接線があり、端点 $a = 0$ と $b = 2 π$ を通る線と平行です。

$x = \frac{π}{2} + π n$ における接線があり、端点 $a = 0$ と $b = 2 π$ を通る線と平行です。

ステップ 10

微分積分 例

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