微分積分例

$y = \frac{x}{{(x - 9)}^{2}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x - 9)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{({(x - 9)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

${({(x - 9)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.1.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x - 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.3

${(x - 9)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(x - 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x - 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 9$ とします。

$\frac{{(x - 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x - 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.3.3

$u$ のすべての発生を $x - 9$ で置き換えます。

$\frac{{(x - 9)}^{2} - x (2 (x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.4

くくりだして簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{{(x - 9)}^{2} - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.4.2

$x - 9$ を ${(x - 9)}^{2} - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.4.2.1

$x - 9$ を ${(x - 9)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(x - 9) (x - 9) - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.4.2.2

$x - 9$ を $- 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ で因数分解します。

$\frac{(x - 9) (x - 9) + (x - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{{(x - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.4.2.3

$x - 9$ を $(x - 9) (x - 9) + (x - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))$ で因数分解します。

$\frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{{(x - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.5

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.5.1

$x - 9$ を ${(x - 9)}^{4}$ で因数分解します。

$\frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

ステップ 1.1.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

ステップ 1.1.5.3

式を書き換えます。

$\frac{x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 1.1.6

総和則では、 $x - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$\frac{x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 1.1.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x - 9 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 1.1.8

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x - 9 - 2 x (1 + 0)}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 1.1.9

項を加えて簡約します。

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ステップ 1.1.9.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x - 9 - 2 x \cdot 1}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 1.1.9.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - 9 - 2 x}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 1.1.9.3

$x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{- x - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 1.1.10

簡約します。

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ステップ 1.1.10.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{- (x) - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 1.1.10.2

$- 9$ を $- 1 (9)$ に書き換えます。

$\frac{- (x) - 1 (9)}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 1.1.10.3

$- 1$ を $- (x) - 1 (9)$ で因数分解します。

$\frac{- (x + 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 1.1.10.4

$- (x + 9)$ を $- 1 (x + 9)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x + 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 1.1.10.5

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}}$ です。

$- \frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$x + 9 = 0$

ステップ 2.3

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$x = - 9$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x - 9)}^{3} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

$x - 9$ が $0$ に等しいとします。

$x - 9 = 0$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺に $9$ を足します。

$x = 9$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{x}{{(x - 9)}^{2}}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = - 9$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- 9$ を $x$ に代入します。

$\frac{- 9}{{((- 9) - 9)}^{2}}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$- 9$ から $9$ を引きます。

$\frac{- 9}{{(- 18)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.1.2

$- 18$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 9}{324}$

ステップ 4.1.2.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$- 9$ と $324$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.2.1.1

$9$ を $- 9$ で因数分解します。

$\frac{9 (- 1)}{324}$

ステップ 4.1.2.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.2.1.2.1

$9$ を $324$ で因数分解します。

$\frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 36}$

ステップ 4.1.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 36}$

ステップ 4.1.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{36}$

ステップ 4.1.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{36}$

ステップ 4.2

$x = 9$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$9$ を $x$ に代入します。

$\frac{9}{{((9) - 9)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$9$ から $9$ を引きます。

$\frac{9}{0^{2}}$

ステップ 4.2.2.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{9}{0}$

ステップ 4.2.2.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 9, - \frac{1}{36})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例