微分積分例

$g (x) = - 5 \sec (x)$ , $- \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 \sec (x)$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ です。

$- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 1.1.1.2

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$f' (x) = - 5 \sec (x) \tan (x)$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $g (x)$ の一次導関数は $- 5 \sec (x) \tan (x)$ です。

$- 5 \sec (x) \tan (x)$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sec (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

ステップ 1.2.3

$\sec (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.3.1

$\sec (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sec (x) = 0$

ステップ 1.2.3.2

割線の値域は $y \leq - 1$ と $y \geq 1$ です。 $0$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 1.2.4

$\tan (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.1

$\tan (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\tan (x) = 0$

ステップ 1.2.4.2

$x$ について $\tan (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.2.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (0)$

ステップ 1.2.4.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.2.1

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 1.2.4.2.3

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + 0$

ステップ 1.2.4.2.4

$π$ と $0$ をたし算します。

$x = π$

ステップ 1.2.4.2.5

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 1.2.4.2.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 1.2.4.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 1.2.4.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 1.2.4.2.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 1.2.4.2.6

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π n, π + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.2.5

最終解は $- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = π n, π + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.2.6

答えをまとめます。

$x = π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$\sec (x)$ の偏角を $\frac{π}{2} + π n$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.3.2

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ 、 $n$ の任意の整数

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $- 5 \sec (x)$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$- 5 \sec (0)$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 5 \cdot 1$

ステップ 1.4.1.2.2

$- 5$ に $1$ をかけます。

$- 5$

ステップ 1.4.2

$x = π$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$π$ を $x$ に代入します。

$- 5 \sec (π)$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正割は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- 5 (- \sec (0))$

ステップ 1.4.2.2.2

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 5 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 1.4.2.2.3

$- 5 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 1.4.2.2.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 5 \cdot - 1$

ステップ 1.4.2.2.3.2

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$5$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0 + 2 π n, - 5), (π + 2 π n, 5)$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

$(0, - 5), (π, 5)$

ステップ 3

二次導関数検定を利用し、最大値または最小値になる点を判定します。

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ステップ 3.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 3.1.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 \sec (x) \tan (x)$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ です。

$- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$

ステップ 3.1.2

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- 5 (\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

ステップ 3.1.3

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$- 5 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

ステップ 3.1.4

指数を足して $\sec (x)$ に $\sec^{2} (x)$ を掛けます。

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ステップ 3.1.4.1

$\sec (x)$ に $\sec^{2} (x)$ をかけます。

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ステップ 3.1.4.1.1

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$- 5 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

ステップ 3.1.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 5 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

ステップ 3.1.4.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

ステップ 3.1.5

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

ステップ 3.1.6

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x))$

ステップ 3.1.7

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x))$

ステップ 3.1.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 5 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x))$

ステップ 3.1.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

ステップ 3.1.10

簡約します。

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ステップ 3.1.10.1

分配則を当てはめます。

$- 5 \sec^{3} (x) - 5 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

ステップ 3.1.10.2

項を並べ替えます。

$- 5 \tan^{2} (x) \sec (x) - 5 \sec^{3} (x)$

ステップ 3.2

$0$ を $x$ に代入し簡約します。

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ステップ 3.2.1

$0$ を $x$ に代入します。

$- 5 \tan^{2} (0) \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

ステップ 3.2.2

$\tan (0)$ の値を求めます。

$- 5 \cdot 0^{2} \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

ステップ 3.2.3

$0$ を $2$ 乗します。

$- 5 \cdot 0 \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

ステップ 3.2.4

$- 5$ に $0$ をかけます。

$0 \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

ステップ 3.2.5

$\sec (0)$ の値を求めます。

$0 \cdot 1 - 5 \sec^{3} (0)$

ステップ 3.2.6

$0$ に $1$ をかけます。

$0 - 5 \sec^{3} (0)$

ステップ 3.2.7

$\sec (0)$ の値を求めます。

$0 - 5 \cdot 1^{3}$

ステップ 3.2.8

$1$ を $3$ 乗します。

$0 - 5 \cdot 1$

ステップ 3.2.9

$- 5$ に $1$ をかけます。

$0 - 5$

ステップ 3.2.10

$0$ から $5$ を引きます。

$- 5$

ステップ 3.3

$0$ では二次導関数が負のため、最大値です。

$0$ は極大値です

ステップ 3.4

$π$ を $x$ に代入し簡約します。

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ステップ 3.4.1

$π$ を $x$ に代入します。

$- 5 \tan^{2} (π) \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

ステップ 3.4.2

$\tan (π)$ の値を求めます。

$- 5 {(0)}^{2} \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

ステップ 3.4.3

$0$ を $2$ 乗します。

$- 5 \cdot 0 \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

ステップ 3.4.4

$- 5$ に $0$ をかけます。

$0 \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

ステップ 3.4.5

$\sec (π)$ の値を求めます。

$0 \cdot - 1 - 5 \sec^{3} (π)$

ステップ 3.4.6

$0$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 5 \sec^{3} (π)$

ステップ 3.4.7

$\sec (π)$ の値を求めます。

$0 - 5 {(- 1)}^{3}$

ステップ 3.4.8

$- 1$ を $3$ 乗します。

$0 - 5 \cdot - 1$

ステップ 3.4.9

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 5$

ステップ 3.4.10

$0$ と $5$ をたし算します。

$5$

ステップ 3.5

$π$ では二次導関数が正のため、最小値です。

$π$ は極小値です

ステップ 3.6

極値を一覧にします

$0$ は極大値です

$π$ は極小値です

$0$ は極大値です

$π$ は極小値です

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $g (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $g (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $g (x)$ の値で発生します。

最大値： $(0, - 5)$

最小値： $(π, 5)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例