微分積分例

$f (x) = x + 8 \cos (x)$ , $[0, 2 π]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、 $x + 8 \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 \cos (x)$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$1 + 8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.1.2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$1 + 8 (- \sin (x))$

ステップ 1.1.1.2.3

$- 1$ に $8$ をかけます。

$f' (x) = 1 - 8 \sin (x)$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $1 - 8 \sin (x)$ です。

$1 - 8 \sin (x)$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $1 - 8 \sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$1 - 8 \sin (x) = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 8 \sin (x) = - 1$

ステップ 1.2.3

$- 8 \sin (x) = - 1$ の各項を $- 8$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$- 8 \sin (x) = - 1$ の各項を $- 8$ で割ります。

$\frac{- 8 \sin (x)}{- 8} = \frac{- 1}{- 8}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$- 8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 8 \sin (x)}{- 8} = \frac{- 1}{- 8}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 8}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\sin (x) = \frac{1}{8}$

ステップ 1.2.4

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{1}{8})$

ステップ 1.2.5

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.1

$\arcsin (\frac{1}{8})$ の値を求めます。

$x = 0.12532783$

ステップ 1.2.6

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = (3.14159265) - 0.12532783$

ステップ 1.2.7

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.7.1

括弧を削除します。

$x = 3.14159265 - 0.12532783$

ステップ 1.2.7.2

括弧を削除します。

$x = (3.14159265) - 0.12532783$

ステップ 1.2.7.3

$3.14159265$ から $0.12532783$ を引きます。

$x = 3.01626482$

ステップ 1.2.8

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 1.2.8.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 1.2.8.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 1.2.8.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 1.2.8.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 1.2.9

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 0.12532783 + 2 π n, 3.01626482 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x + 8 \cos (x)$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 0.12532783$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$0.12532783$ を $x$ に代入します。

$(0.12532783) + 8 \cos (0.12532783)$

ステップ 1.4.1.2

$0.12532783$ と $8 \cos (0.12532783)$ をたし算します。

$8.06258176$

ステップ 1.4.2

$x = 0.12532783 + 2 π$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$0.12532783 + 2 π$ を $x$ に代入します。

$(0.12532783 + 2 π) + 8 \cos (0.12532783 + 2 π)$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.1

$0.12532783$ と $2 π$ をたし算します。

$0.12532783 + 2 π + 8 \cos (6.40851313)$

ステップ 1.4.2.2.2

$0.12532783$ と $2 π$ をたし算します。

$6.40851313 + 8 \cos (6.40851313)$

ステップ 1.4.2.2.3

$6.40851313$ と $8 \cos (6.40851313)$ をたし算します。

$14.34576707$

ステップ 1.4.3

$x = 0.12532783 + 4 π$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.3.1

$0.12532783 + 4 π$ を $x$ に代入します。

$(0.12532783 + 4 π) + 8 \cos (0.12532783 + 4 π)$

ステップ 1.4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1

$0.12532783$ と $4 π$ をたし算します。

$0.12532783 + 4 π + 8 \cos (12.69169844)$

ステップ 1.4.3.2.2

$0.12532783$ と $4 π$ をたし算します。

$12.69169844 + 8 \cos (12.69169844)$

ステップ 1.4.3.2.3

$12.69169844$ と $8 \cos (12.69169844)$ をたし算します。

$20.62895237$

ステップ 1.4.4

$x = 0.12532783 + 6 π$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.4.1

$0.12532783 + 6 π$ を $x$ に代入します。

$(0.12532783 + 6 π) + 8 \cos (0.12532783 + 6 π)$

ステップ 1.4.4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.4.2.1

$0.12532783$ と $6 π$ をたし算します。

$0.12532783 + 6 π + 8 \cos (18.97488375)$

ステップ 1.4.4.2.2

$0.12532783$ と $6 π$ をたし算します。

$18.97488375 + 8 \cos (18.97488375)$

ステップ 1.4.4.2.3

$18.97488375$ と $8 \cos (18.97488375)$ をたし算します。

$26.91213768$

ステップ 1.4.5

$x = 0.12532783 + 8 π$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.5.1

$0.12532783 + 8 π$ を $x$ に代入します。

$(0.12532783 + 8 π) + 8 \cos (0.12532783 + 8 π)$

ステップ 1.4.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.5.2.1

$0.12532783$ と $8 π$ をたし算します。

$0.12532783 + 8 π + 8 \cos (25.25806905)$

ステップ 1.4.5.2.2

$0.12532783$ と $8 π$ をたし算します。

$25.25806905 + 8 \cos (25.25806905)$

ステップ 1.4.5.2.3

$25.25806905$ と $8 \cos (25.25806905)$ をたし算します。

$33.19532299$

ステップ 1.4.6

$x = 3.01626482$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.6.1

$3.01626482$ を $x$ に代入します。

$(3.01626482) + 8 \cos (3.01626482)$

ステップ 1.4.6.2

$3.01626482$ と $8 \cos (3.01626482)$ をたし算します。

$- 4.92098911$

ステップ 1.4.7

$x = 3.01626482 + 2 π$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.7.1

$3.01626482 + 2 π$ を $x$ に代入します。

$(3.01626482 + 2 π) + 8 \cos (3.01626482 + 2 π)$

ステップ 1.4.7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.7.2.1

$3.01626482$ と $2 π$ をたし算します。

$3.01626482 + 2 π + 8 \cos (9.29945012)$

ステップ 1.4.7.2.2

$3.01626482$ と $2 π$ をたし算します。

$9.29945012 + 8 \cos (9.29945012)$

ステップ 1.4.7.2.3

$9.29945012$ と $8 \cos (9.29945012)$ をたし算します。

$1.36219619$

ステップ 1.4.8

$x = 3.01626482 + 4 π$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.8.1

$3.01626482 + 4 π$ を $x$ に代入します。

$(3.01626482 + 4 π) + 8 \cos (3.01626482 + 4 π)$

ステップ 1.4.8.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.8.2.1

$3.01626482$ と $4 π$ をたし算します。

$3.01626482 + 4 π + 8 \cos (15.58263543)$

ステップ 1.4.8.2.2

$3.01626482$ と $4 π$ をたし算します。

$15.58263543 + 8 \cos (15.58263543)$

ステップ 1.4.8.2.3

$15.58263543$ と $8 \cos (15.58263543)$ をたし算します。

$7.6453815$

ステップ 1.4.9

$x = 3.01626482 + 6 π$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.9.1

$3.01626482 + 6 π$ を $x$ に代入します。

$(3.01626482 + 6 π) + 8 \cos (3.01626482 + 6 π)$

ステップ 1.4.9.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.9.2.1

$3.01626482$ と $6 π$ をたし算します。

$3.01626482 + 6 π + 8 \cos (21.86582074)$

ステップ 1.4.9.2.2

$3.01626482$ と $6 π$ をたし算します。

$21.86582074 + 8 \cos (21.86582074)$

ステップ 1.4.9.2.3

$21.86582074$ と $8 \cos (21.86582074)$ をたし算します。

$13.92856681$

ステップ 1.4.10

$x = 3.01626482 + 8 π$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.10.1

$3.01626482 + 8 π$ を $x$ に代入します。

$(3.01626482 + 8 π) + 8 \cos (3.01626482 + 8 π)$

ステップ 1.4.10.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.10.2.1

$3.01626482$ と $8 π$ をたし算します。

$3.01626482 + 8 π + 8 \cos (28.14900605)$

ステップ 1.4.10.2.2

$3.01626482$ と $8 π$ をたし算します。

$28.14900605 + 8 \cos (28.14900605)$

ステップ 1.4.10.2.3

$28.14900605$ と $8 \cos (28.14900605)$ をたし算します。

$20.21175211$

ステップ 1.4.11

点のすべてを一覧にします。

$(0.12532783, 8.06258176), (0.12532783 + 2 π, 14.34576707), (0.12532783 + 4 π, 20.62895237), (0.12532783 + 6 π, 26.91213768), (0.12532783 + 8 π, 33.19532299), (3.01626482, - 4.92098911), (3.01626482 + 2 π, 1.36219619), (3.01626482 + 4 π, 7.6453815), (3.01626482 + 6 π, 13.92856681), (3.01626482 + 8 π, 20.21175211)$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

$(0.12532783, 8.06258176), (3.01626482, - 4.92098911)$

ステップ 3

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 3.1

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$(0) + 8 \cos (0)$

ステップ 3.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$0 + 8 \cdot 1$

ステップ 3.1.2.1.2

$8$ に $1$ をかけます。

$0 + 8$

ステップ 3.1.2.2

$0$ と $8$ をたし算します。

$8$

ステップ 3.2

$x = 2 π$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$2 π$ を $x$ に代入します。

$(2 π) + 8 \cos (2 π)$

ステップ 3.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$2 π + 8 \cos (0)$

ステップ 3.2.2.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2 π + 8 \cdot 1$

ステップ 3.2.2.3

$8$ に $1$ をかけます。

$2 π + 8$

ステップ 3.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 8), (2 π, 2 π + 8)$

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(2 π, 2 π + 8)$

最小値： $(3.01626482, - 4.92098911)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例