微分積分例

$f (x) = 6 x^{5} - 5 x^{6}$ ; $(- \infty, \infty)$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $6 x^{5} - 5 x^{6}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{5}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$

ステップ 1.1.1.2.3

$5$ に $6$ をかけます。

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{6}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ です。

$30 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{6}]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$30 x^{4} - 5 (6 x^{5})$

ステップ 1.1.1.3.3

$6$ に $- 5$ をかけます。

$30 x^{4} - 30 x^{5}$

ステップ 1.1.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 30 x^{5} + 30 x^{4}$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 30 x^{5} + 30 x^{4}$ です。

$- 30 x^{5} + 30 x^{4}$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 30 x^{5} + 30 x^{4} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 30 x^{5} + 30 x^{4} = 0$

ステップ 1.2.2

$- 30 x^{4}$ を $- 30 x^{5} + 30 x^{4}$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$- 30 x^{4}$ を $- 30 x^{5}$ で因数分解します。

$- 30 x^{4} x + 30 x^{4} = 0$

ステップ 1.2.2.2

$- 30 x^{4}$ を $30 x^{4}$ で因数分解します。

$- 30 x^{4} x - 30 x^{4} \cdot - 1 = 0$

ステップ 1.2.2.3

$- 30 x^{4}$ を $- 30 x^{4} (x) - 30 x^{4} (- 1)$ で因数分解します。

$- 30 x^{4} (x - 1) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{4} = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 1.2.4

$x^{4}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.1

$x^{4}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{4} = 0$

ステップ 1.2.4.2

$x$ について $x^{4} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

ステップ 1.2.4.2.2

$\pm \sqrt[4]{0}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.2.1

$0$ を $0^{4}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

ステップ 1.2.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 1.2.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 1.2.5

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 1.2.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 1.2.6

最終解は $- 30 x^{4} (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 1$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $6 x^{5} - 5 x^{6}$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$6 {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{6}$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$6 \cdot 0 - 5 {(0)}^{6}$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$6$ に $0$ をかけます。

$0 - 5 {(0)}^{6}$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 5 \cdot 0$

ステップ 1.4.1.2.1.4

$- 5$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 1.4.1.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 1.4.2

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$1$ を $x$ に代入します。

$6 {(1)}^{5} - 5 {(1)}^{6}$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$6 \cdot 1 - 5 {(1)}^{6}$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$6$ に $1$ をかけます。

$6 - 5 {(1)}^{6}$

ステップ 1.4.2.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$6 - 5 \cdot 1$

ステップ 1.4.2.2.1.4

$- 5$ に $1$ をかけます。

$6 - 5$

ステップ 1.4.2.2.2

$6$ から $5$ を引きます。

$1$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (1, 1)$

ステップ 2

一次導関数検定を利用し、最大値または最小値になる点を判定します。

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ステップ 2.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 2.2

一次導関数 $- 30 x^{5} + 30 x^{4}$ の区間 $(- \infty, 0)$ から $- 2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 2.2.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = - 30 {(- 2)}^{5} + 30 {(- 2)}^{4}$

ステップ 2.2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1.1

$- 2$ を $5$ 乗します。

$f' (- 2) = - 30 \cdot - 32 + 30 {(- 2)}^{4}$

ステップ 2.2.2.1.2

$- 30$ に $- 32$ をかけます。

$f' (- 2) = 960 + 30 {(- 2)}^{4}$

ステップ 2.2.2.1.3

$- 2$ を $4$ 乗します。

$f' (- 2) = 960 + 30 \cdot 16$

ステップ 2.2.2.1.4

$30$ に $16$ をかけます。

$f' (- 2) = 960 + 480$

ステップ 2.2.2.2

$960$ と $480$ をたし算します。

$f' (- 2) = 1440$

ステップ 2.2.2.3

最終的な答えは $1440$ です。

$1440$

ステップ 2.3

一次導関数 $- 30 x^{5} + 30 x^{4}$ の区間 $(0, 1)$ から $0.5$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 2.3.1

式の変数 $x$ を $0.5$ で置換えます。

$f' (0.5) = - 30 {(0.5)}^{5} + 30 {(0.5)}^{4}$

ステップ 2.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1.1

$0.5$ を $5$ 乗します。

$f' (0.5) = - 30 \cdot 0.03125 + 30 {(0.5)}^{4}$

ステップ 2.3.2.1.2

$- 30$ に $0.03125$ をかけます。

$f' (0.5) = - 0.9375 + 30 {(0.5)}^{4}$

ステップ 2.3.2.1.3

$0.5$ を $4$ 乗します。

$f' (0.5) = - 0.9375 + 30 \cdot 0.0625$

ステップ 2.3.2.1.4

$30$ に $0.0625$ をかけます。

$f' (0.5) = - 0.9375 + 1.875$

ステップ 2.3.2.2

$- 0.9375$ と $1.875$ をたし算します。

$f' (0.5) = 0.9375$

ステップ 2.3.2.3

最終的な答えは $0.9375$ です。

$0.9375$

ステップ 2.4

一次導関数 $- 30 x^{5} + 30 x^{4}$ の区間 $(1, \infty)$ から $4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 2.4.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = - 30 {(4)}^{5} + 30 {(4)}^{4}$

ステップ 2.4.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1.1

$4$ を $5$ 乗します。

$f' (4) = - 30 \cdot 1024 + 30 {(4)}^{4}$

ステップ 2.4.2.1.2

$- 30$ に $1024$ をかけます。

$f' (4) = - 30720 + 30 {(4)}^{4}$

ステップ 2.4.2.1.3

$4$ を $4$ 乗します。

$f' (4) = - 30720 + 30 \cdot 256$

ステップ 2.4.2.1.4

$30$ に $256$ をかけます。

$f' (4) = - 30720 + 7680$

ステップ 2.4.2.2

$- 30720$ と $7680$ をたし算します。

$f' (4) = - 23040$

ステップ 2.4.2.3

最終的な答えは $- 23040$ です。

$- 23040$

ステップ 2.5

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。

極大値または極小値ではありません

ステップ 2.6

$x = 1$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = 1$ は極大値です。

$x = 1$ は極大値です

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(1, 1)$

絶対最小値はありません

ステップ 4

微分積分 例

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