微分積分例

$f (x) = 8 x + 8 \cot (\frac{x}{2})$ , $[\frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $8 x + 8 \cot (\frac{x}{2})$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$ です。

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [8 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$

ステップ 1.1.1.2.3

$8$ に $1$ をかけます。

$8 + \frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 \cot (\frac{x}{2})$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [\cot (\frac{x}{2})]$ です。

$8 + 8 \frac{d}{d x} [\cot (\frac{x}{2})]$

ステップ 1.1.1.3.2

$f (x) = \cot (x)$ および $g (x) = \frac{x}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{2}$ とします。

$8 + 8 (\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

ステップ 1.1.1.3.2.2

$u$ に関する $\cot (u)$ の微分係数は $- \csc^{2} (u)$ です。

$8 + 8 (- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

ステップ 1.1.1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$8 + 8 (- \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

ステップ 1.1.1.3.3

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$8 + 8 (- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 1.1.1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 + 8 (- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1))$

ステップ 1.1.1.3.5

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$8 + 8 (- \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1}{2})$

ステップ 1.1.1.3.6

$\frac{1}{2}$ と $\csc^{2} (\frac{x}{2})$ をまとめます。

$8 + 8 (- \frac{\csc^{2} (\frac{x}{2})}{2})$

ステップ 1.1.1.3.7

$- 1$ に $8$ をかけます。

$8 - 8 \frac{\csc^{2} (\frac{x}{2})}{2}$

ステップ 1.1.1.3.8

$- 8$ と $\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2})}{2}$ をまとめます。

$8 + \frac{- 8 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{2}$

ステップ 1.1.1.3.9

$- 8$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.9.1

$2$ を $- 8 \csc^{2} (\frac{x}{2})$ で因数分解します。

$8 + \frac{2 (- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}))}{2}$

ステップ 1.1.1.3.9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.9.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$8 + \frac{2 (- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}))}{2 (1)}$

ステップ 1.1.1.3.9.2.2

共通因数を約分します。

$8 + \frac{2 (- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}))}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.3.9.2.3

式を書き換えます。

$8 + \frac{- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{1}$

ステップ 1.1.1.3.9.2.4

$- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = 8 - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $8 - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})$ です。

$8 - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $8 - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$8 - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = - 8$

ステップ 1.2.3

$- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = - 8$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = - 8$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{- 4} = \frac{- 8}{- 4}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{- 4} = \frac{- 8}{- 4}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$\csc^{2} (\frac{x}{2})$ を $1$ で割ります。

$\csc^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{- 8}{- 4}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.1

$- 8$ を $- 4$ で割ります。

$\csc^{2} (\frac{x}{2}) = 2$

ステップ 1.2.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{2}$

ステップ 1.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\csc (\frac{x}{2}) = \sqrt{2}$

ステップ 1.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\csc (\frac{x}{2}) = - \sqrt{2}$

ステップ 1.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\csc (\frac{x}{2}) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 1.2.6

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\csc (\frac{x}{2}) = \sqrt{2}$

$\csc (\frac{x}{2}) = - \sqrt{2}$

ステップ 1.2.7

$\csc (\frac{x}{2}) = \sqrt{2}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1

方程式の両辺の逆余割をとり、余割の中から $x$ を取り出します。

$\frac{x}{2} = arccsc (\sqrt{2})$

ステップ 1.2.7.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.2.1

$arccsc (\sqrt{2})$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.7.3

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.7.4

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.4.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.7.4.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 2 \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.7.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.4.2.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$x = 2 \frac{π}{2 (2)}$

ステップ 1.2.7.4.2.1.2

共通因数を約分します。

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.7.4.2.1.3

式を書き換えます。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.7.5

余割関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.7.6

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.6.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{4})$

ステップ 1.2.7.6.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.6.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.6.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.6.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{4})$

ステップ 1.2.7.6.2.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 2 (π - \frac{π}{4})$

ステップ 1.2.7.6.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.6.2.2.1

$2 (π - \frac{π}{4})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.6.2.2.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = 2 (π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4})$

ステップ 1.2.7.6.2.2.1.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.6.2.2.1.2.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = 2 (\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4})$

ステップ 1.2.7.6.2.2.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = 2 \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 1.2.7.6.2.2.1.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.6.2.2.1.2.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$x = 2 \frac{π \cdot 4 - π}{2 (2)}$

ステップ 1.2.7.6.2.2.1.2.3.2

共通因数を約分します。

$x = 2 \frac{π \cdot 4 - π}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.7.6.2.2.1.2.3.3

式を書き換えます。

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{2}$

ステップ 1.2.7.6.2.2.1.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.6.2.2.1.3.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \cdot π - π}{2}$

ステップ 1.2.7.6.2.2.1.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 1.2.7.7

$\csc (\frac{x}{2})$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 1.2.7.7.2

周期の公式の $b$ を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

ステップ 1.2.7.7.3

$\frac{1}{2}$ は約 $0.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.2.7.7.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \cdot 2$

ステップ 1.2.7.7.5

$2$ に $2$ をかけます。

$4 π$

ステップ 1.2.7.8

$\csc (\frac{x}{2})$ 関数の周期が $4 π$ なので、両方向で $4 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 4 π n, \frac{3 π}{2} + 4 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.2.8

$\csc (\frac{x}{2}) = - \sqrt{2}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.1

方程式の両辺の逆余割をとり、余割の中から $x$ を取り出します。

$\frac{x}{2} = arccsc (- \sqrt{2})$

ステップ 1.2.8.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.2.1

$arccsc (- \sqrt{2})$ の厳密値は $- \frac{π}{4}$ です。

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.8.3

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.2.8.4

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.4.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.2.8.4.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 2 (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.2.8.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.4.2.1

$2 (- \frac{π}{4})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.4.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.4.2.1.1.1

$- \frac{π}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$x = 2 \frac{- π}{4}$

ステップ 1.2.8.4.2.1.1.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$x = 2 \frac{- π}{2 (2)}$

ステップ 1.2.8.4.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$x = 2 \frac{- π}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.8.4.2.1.1.4

式を書き換えます。

$x = \frac{- π}{2}$

ステップ 1.2.8.4.2.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.8.5

余割関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{4} + π$

ステップ 1.2.8.6

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.6.1

$2 π + \frac{π}{4} + π$ から $2 π$ を引きます。

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

ステップ 1.2.8.6.2

$\frac{5 π}{4}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{4} + π$ と隣接します。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4}$

ステップ 1.2.8.6.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.6.3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{4}$

ステップ 1.2.8.6.3.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.6.3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.6.3.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.6.3.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{4}$

ステップ 1.2.8.6.3.2.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 2 \frac{5 π}{4}$

ステップ 1.2.8.6.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.6.3.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.6.3.2.2.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$x = 2 \frac{5 π}{2 (2)}$

ステップ 1.2.8.6.3.2.2.1.2

共通因数を約分します。

$x = 2 \frac{5 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.8.6.3.2.2.1.3

式を書き換えます。

$x = \frac{5 π}{2}$

ステップ 1.2.8.7

$\csc (\frac{x}{2})$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 1.2.8.7.2

周期の公式の $b$ を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

ステップ 1.2.8.7.3

$\frac{1}{2}$ は約 $0.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.2.8.7.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \cdot 2$

ステップ 1.2.8.7.5

$2$ に $2$ をかけます。

$4 π$

ステップ 1.2.8.8

$4 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.8.1

$4 π$ を $- \frac{π}{2}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{2} + 4 π$

ステップ 1.2.8.8.2

$4 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$4 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.8.8.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.8.3.1

$4 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{4 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.8.8.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 1.2.8.8.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.8.4.1

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{8 π - π}{2}$

ステップ 1.2.8.8.4.2

$8 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{7 π}{2}$

ステップ 1.2.8.8.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{7 π}{2}$

ステップ 1.2.8.9

$\csc (\frac{x}{2})$ 関数の周期が $4 π$ なので、両方向で $4 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{5 π}{2} + 4 π n, \frac{7 π}{2} + 4 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.2.9

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{2} + 4 π n, \frac{3 π}{2} + 4 π n, \frac{5 π}{2} + 4 π n, \frac{7 π}{2} + 4 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.2.10

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\csc (\frac{x}{2})$ の偏角を $π n$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\frac{x}{2} = π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{x}{2} = 2 (π n)$

ステップ 1.3.2.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} = 2 (π n)$

ステップ 1.3.2.2.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 2 (π n)$

ステップ 1.3.2.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.2.1

括弧を削除します。

$x = 2 π n$

ステップ 1.3.3

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

${x | x = 2 π n}$ $n$ 、 $n$ の任意の整数

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $8 x + 8 \cot (\frac{x}{2})$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$x = \frac{π}{2}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$\frac{π}{2}$ を $x$ に代入します。

$8 (\frac{π}{2}) + 8 \cot (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

ステップ 1.4.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$2 (4) \frac{π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

ステップ 1.4.1.2.1.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot 4 \frac{π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

ステップ 1.4.1.2.1.3

式を書き換えます。

$4 π + 8 \cot (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

ステップ 1.4.1.2.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$4 π + 8 \cot (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 1.4.1.2.3

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.3.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$4 π + 8 \cot (\frac{π}{2 \cdot 2})$

ステップ 1.4.1.2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$4 π + 8 \cot (\frac{π}{4})$

ステップ 1.4.1.2.4

$\cot (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$4 π + 8 \cdot 1$

ステップ 1.4.1.2.5

$8$ に $1$ をかけます。

$4 π + 8$

ステップ 1.4.2

$x = \frac{3 π}{2}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$\frac{3 π}{2}$ を $x$ に代入します。

$8 (\frac{3 π}{2}) + 8 \cot (\frac{\frac{3 π}{2}}{2})$

ステップ 1.4.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$2 (4) \frac{3 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{3 π}{2}}{2})$

ステップ 1.4.2.2.1.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot 4 \frac{3 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{3 π}{2}}{2})$

ステップ 1.4.2.2.1.3

式を書き換えます。

$4 (3 π) + 8 \cot (\frac{\frac{3 π}{2}}{2})$

ステップ 1.4.2.2.2

$3$ に $4$ をかけます。

$12 π + 8 \cot (\frac{\frac{3 π}{2}}{2})$

ステップ 1.4.2.2.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$12 π + 8 \cot (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 1.4.2.2.4

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.4.1

$\frac{3 π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$12 π + 8 \cot (\frac{3 π}{2 \cdot 2})$

ステップ 1.4.2.2.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$12 π + 8 \cot (\frac{3 π}{4})$

ステップ 1.4.2.2.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余接は第二象限で負であるため、式を負にします。

$12 π + 8 (- \cot (\frac{π}{4}))$

ステップ 1.4.2.2.6

$\cot (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$12 π + 8 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 1.4.2.2.7

$8 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.7.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$12 π + 8 \cdot - 1$

ステップ 1.4.2.2.7.2

$8$ に $- 1$ をかけます。

$12 π - 8$

ステップ 1.4.3

$x = \frac{5 π}{2}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$\frac{5 π}{2}$ を $x$ に代入します。

$8 (\frac{5 π}{2}) + 8 \cot (\frac{\frac{5 π}{2}}{2})$

ステップ 1.4.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$2 (4) \frac{5 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{5 π}{2}}{2})$

ステップ 1.4.3.2.1.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot 4 \frac{5 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{5 π}{2}}{2})$

ステップ 1.4.3.2.1.3

式を書き換えます。

$4 (5 π) + 8 \cot (\frac{\frac{5 π}{2}}{2})$

ステップ 1.4.3.2.2

$5$ に $4$ をかけます。

$20 π + 8 \cot (\frac{\frac{5 π}{2}}{2})$

ステップ 1.4.3.2.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$20 π + 8 \cot (\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 1.4.3.2.4

$\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.4.1

$\frac{5 π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$20 π + 8 \cot (\frac{5 π}{2 \cdot 2})$

ステップ 1.4.3.2.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$20 π + 8 \cot (\frac{5 π}{4})$

ステップ 1.4.3.2.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$20 π + 8 \cot (\frac{π}{4})$

ステップ 1.4.3.2.6

$\cot (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$20 π + 8 \cdot 1$

ステップ 1.4.3.2.7

$8$ に $1$ をかけます。

$20 π + 8$

ステップ 1.4.4

$x = \frac{7 π}{2}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.4.1

$\frac{7 π}{2}$ を $x$ に代入します。

$8 (\frac{7 π}{2}) + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{2}}{2})$

ステップ 1.4.4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.4.2.1.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$2 (4) \frac{7 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{2}}{2})$

ステップ 1.4.4.2.1.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot 4 \frac{7 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{2}}{2})$

ステップ 1.4.4.2.1.3

式を書き換えます。

$4 (7 π) + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{2}}{2})$

ステップ 1.4.4.2.2

$7$ に $4$ をかけます。

$28 π + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{2}}{2})$

ステップ 1.4.4.2.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$28 π + 8 \cot (\frac{7 π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 1.4.4.2.4

$\frac{7 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.4.2.4.1

$\frac{7 π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$28 π + 8 \cot (\frac{7 π}{2 \cdot 2})$

ステップ 1.4.4.2.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$28 π + 8 \cot (\frac{7 π}{4})$

ステップ 1.4.4.2.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余割は第四象限で負であるため、式を負にします。

$28 π + 8 (- \cot (\frac{π}{4}))$

ステップ 1.4.4.2.6

$\cot (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$28 π + 8 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 1.4.4.2.7

$8 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.4.2.7.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$28 π + 8 \cdot - 1$

ステップ 1.4.4.2.7.2

$8$ に $- 1$ をかけます。

$28 π - 8$

ステップ 1.4.5

$x = \frac{9 π}{2}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.5.1

$\frac{9 π}{2}$ を $x$ に代入します。

$8 (\frac{9 π}{2}) + 8 \cot (\frac{\frac{9 π}{2}}{2})$

ステップ 1.4.5.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.5.2.1.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$2 (4) \frac{9 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{9 π}{2}}{2})$

ステップ 1.4.5.2.1.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot 4 \frac{9 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{9 π}{2}}{2})$

ステップ 1.4.5.2.1.3

式を書き換えます。

$4 (9 π) + 8 \cot (\frac{\frac{9 π}{2}}{2})$

ステップ 1.4.5.2.2

$9$ に $4$ をかけます。

$36 π + 8 \cot (\frac{\frac{9 π}{2}}{2})$

ステップ 1.4.5.2.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$36 π + 8 \cot (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 1.4.5.2.4

$\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.5.2.4.1

$\frac{9 π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$36 π + 8 \cot (\frac{9 π}{2 \cdot 2})$

ステップ 1.4.5.2.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$36 π + 8 \cot (\frac{9 π}{4})$

ステップ 1.4.5.2.5

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$36 π + 8 \cot (\frac{π}{4})$

ステップ 1.4.5.2.6

$\cot (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$36 π + 8 \cdot 1$

ステップ 1.4.5.2.7

$8$ に $1$ をかけます。

$36 π + 8$

ステップ 1.4.6

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{π}{2}, 4 π + 8), (\frac{3 π}{2}, 12 π - 8), (\frac{5 π}{2}, 20 π + 8), (\frac{7 π}{2}, 28 π - 8), (\frac{9 π}{2}, 36 π + 8)$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

$(\frac{π}{2}, 4 π + 8), (\frac{3 π}{2}, 12 π - 8)$

ステップ 3

含まれる端点における値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x = \frac{π}{4}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$\frac{π}{4}$ を $x$ に代入します。

$8 (\frac{π}{4}) + 8 \cot (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

ステップ 3.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$4 (2) \frac{π}{4} + 8 \cot (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

ステップ 3.1.2.1.2

共通因数を約分します。

$4 \cdot 2 \frac{π}{4} + 8 \cot (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

ステップ 3.1.2.1.3

式を書き換えます。

$2 π + 8 \cot (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

ステップ 3.1.2.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π + 8 \cot (\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 3.1.2.3

$\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.1

$\frac{π}{4}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$2 π + 8 \cot (\frac{π}{4 \cdot 2})$

ステップ 3.1.2.3.2

$4$ に $2$ をかけます。

$2 π + 8 \cot (\frac{π}{8})$

ステップ 3.1.2.4

$\cot (\frac{π}{8})$ の厳密値は $\frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.4.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{π}{8}$ を書き直します。

$2 π + 8 \cot (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

ステップ 3.1.2.4.2

逆数の公式を当てはめます。

$2 π + 8 \frac{1}{\tan (\frac{\frac{π}{4}}{2})}$

ステップ 3.1.2.4.3

正切半角の公式を当てはめます。

$2 π + 8 \frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$

ステップ 3.1.2.4.4

余接が第一象限で正なので、 $\pm$ を $+$ に変えます。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$

ステップ 3.1.2.4.5

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.4.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.4.5.1.1

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.1.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.1.3

公分母の分子をまとめます。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.4.5.2.1

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.2.3

公分母の分子をまとめます。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.4.5.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.4.5.3.2.1

共通因数を約分します。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.2.2

式を書き換えます。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.3

$\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ に $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ をかけます。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.4

$\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ に $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ をかけます。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.5

FOIL法を使って分母を展開します。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.6

簡約します。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.7

分配則を当てはめます。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.8

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.4.5.3.8.1

共通因数を約分します。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.8.2

式を書き換えます。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.9

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ と $\sqrt{2}$ をまとめます。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.10

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.4.5.3.10.1

$2$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.10.2

$\frac{2}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.10.3

$\frac{2}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.10.4

$- \sqrt{2}$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.10.5

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.10.6

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2} \cdot 2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.11

公分母の分子をまとめます。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.12

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.4.5.3.12.1

$2$ に $2$ をかけます。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.12.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.12.3

分配則を当てはめます。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 1 \cdot 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.12.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.12.5

$- - \sqrt{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.4.5.3.12.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + 1 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.12.5.2

$\sqrt{2}$ に $1$ をかけます。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.12.6

分配則を当てはめます。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.12.7

根の積の法則を使ってまとめます。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.12.8

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.4.5.3.12.8.1

$2$ に $2$ をかけます。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.12.8.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.12.8.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + 2}{2}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.13

$4$ と $2$ をたし算します。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.14

$- 2 \sqrt{2}$ から $2 \sqrt{2}$ を引きます。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 4 \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.15

$6 - 4 \sqrt{2}$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.4.5.3.15.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 - 4 \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.15.2

$2$ を $- 4 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (- 2 \sqrt{2})}{2}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.15.3

$2$ を $2 (3) + 2 (- 2 \sqrt{2})$ で因数分解します。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.15.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.4.5.3.15.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.15.4.2

共通因数を約分します。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.15.4.3

式を書き換えます。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{1}}}$

ステップ 3.1.2.4.5.3.15.4.4

$3 - 2 \sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

ステップ 3.1.2.5

$8$ と $\frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$ をまとめます。

$2 π + \frac{8}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

ステップ 3.2

$x = \frac{7 π}{4}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\frac{7 π}{4}$ を $x$ に代入します。

$8 (\frac{7 π}{4}) + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

ステップ 3.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$4 (2) \frac{7 π}{4} + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

ステップ 3.2.2.1.2

共通因数を約分します。

$4 \cdot 2 \frac{7 π}{4} + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

ステップ 3.2.2.1.3

式を書き換えます。

$2 (7 π) + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

ステップ 3.2.2.2

$7$ に $2$ をかけます。

$14 π + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

ステップ 3.2.2.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$14 π + 8 \cot (\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 3.2.2.4

$\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.4.1

$\frac{7 π}{4}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$14 π + 8 \cot (\frac{7 π}{4 \cdot 2})$

ステップ 3.2.2.4.2

$4$ に $2$ をかけます。

$14 π + 8 \cot (\frac{7 π}{8})$

ステップ 3.2.2.5

$\cot (\frac{7 π}{8})$ の厳密値は $- \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.5.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{7 π}{8}$ を書き直します。

$14 π + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

ステップ 3.2.2.5.2

逆数の公式を当てはめます。

$14 π + 8 \frac{1}{\tan (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})}$

ステップ 3.2.2.5.3

正切半角の公式を当てはめます。

$14 π + 8 \frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}}$

ステップ 3.2.2.5.4

余接が第二象限で負なので、 $\pm$ を $-$ に変えます。

$14 π + 8 \frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}}$

ステップ 3.2.2.5.5

$\frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.5.5.1

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.5.5.1.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$14 π + 8 \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}}$

ステップ 3.2.2.5.5.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.5.5.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.2.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.2.4

公分母の分子をまとめます。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.5.5.3.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.3.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.3.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.3.4

公分母の分子をまとめます。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.5.5.4.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.5.5.4.2.1

共通因数を約分します。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.2.2

式を書き換えます。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.3

$\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ に $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ をかけます。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.4

$\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ に $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ をかけます。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.5

FOIL法を使って分母を展開します。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.6

簡約します。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.7

分配則を当てはめます。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.8

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.5.5.4.8.1

共通因数を約分します。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.8.2

式を書き換えます。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.9

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ と $\sqrt{2}$ をまとめます。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.10

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.5.5.4.10.1

$2$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.10.2

$\frac{2}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.10.3

$\frac{2}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.10.4

$- \sqrt{2}$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.10.5

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.10.6

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2} \cdot 2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.11

公分母の分子をまとめます。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.12

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.5.5.4.12.1

$2$ に $2$ をかけます。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.12.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.12.3

分配則を当てはめます。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 1 \cdot 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.12.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.12.5

$- - \sqrt{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.5.5.4.12.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + 1 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.12.5.2

$\sqrt{2}$ に $1$ をかけます。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.12.6

分配則を当てはめます。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.12.7

根の積の法則を使ってまとめます。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.12.8

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.5.5.4.12.8.1

$2$ に $2$ をかけます。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.12.8.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.12.8.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + 2}{2}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.13

$4$ と $2$ をたし算します。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}{2}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.14

$- 2 \sqrt{2}$ から $2 \sqrt{2}$ を引きます。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 4 \sqrt{2}}{2}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.15

$6 - 4 \sqrt{2}$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.5.5.4.15.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 - 4 \sqrt{2}}{2}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.15.2

$2$ を $- 4 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (- 2 \sqrt{2})}{2}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.15.3

$2$ を $2 (3) + 2 (- 2 \sqrt{2})$ で因数分解します。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.15.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.5.5.4.15.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.15.4.2

共通因数を約分します。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.15.4.3

式を書き換えます。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{1}}})$

ステップ 3.2.2.5.5.4.15.4.4

$3 - 2 \sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}})$

ステップ 3.2.2.6

$8 (- \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.6.1

$- 1$ に $8$ をかけます。

$14 π - 8 \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

ステップ 3.2.2.6.2

$- 8$ と $\frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$ をまとめます。

$14 π + \frac{- 8}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

ステップ 3.2.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$14 π - \frac{8}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

ステップ 3.3

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{π}{4}, 2 π + \frac{8}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}), (\frac{7 π}{4}, 14 π - \frac{8}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}})$

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(\frac{3 π}{2}, 12 π - 8)$

最小値： $(\frac{π}{2}, 4 π + 8)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例