微分積分例

$f (x) = \sin (x) \cos (x) + 7$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $\sin (x) \cos (x) + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.2.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.2.4

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.2.5

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.2.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.2.8

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.2.9

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.2.10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.2.11

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.3

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 0$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ と $0$ をたし算します。

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

ステップ 1.4.2

$- \sin^{2} (x)$ と $\cos^{2} (x)$ を並べ替えます。

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

ステップ 1.4.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \cos (x)$ であり、 $b = \sin (x)$ です。

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

ステップ 1.4.4

分配法則（FOIL法）を使って $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.4.1

分配則を当てはめます。

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

ステップ 1.4.4.2

分配則を当てはめます。

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

ステップ 1.4.4.3

分配則を当てはめます。

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 1.4.5

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.5.1

$\cos (x) (- \sin (x))$ と $\sin (x) \cos (x)$ について因数を並べ替えます。

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 1.4.5.2

$- \cos (x) \sin (x)$ と $\cos (x) \sin (x)$ をたし算します。

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 1.4.5.3

$\cos (x) \cos (x)$ と $0$ をたし算します。

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 1.4.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.6.1

$\cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.6.1.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 1.4.6.1.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 1.4.6.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 1.4.6.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 1.4.6.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

ステップ 1.4.6.3

$- \sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.6.3.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

ステップ 1.4.6.3.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

ステップ 1.4.6.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

ステップ 1.4.6.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

ステップ 1.4.7

余弦2倍角の公式を当てはめます。

$\cos (2 x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$f'' (x) = - \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = - \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} x$

ステップ 2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) \cdot 1$

ステップ 2.2.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\cos (2 x) = 0$

ステップ 4

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arccos (0)$

ステップ 5

右辺を簡約します。

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ステップ 5.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$2 x = \frac{π}{2}$

ステップ 6

$2 x = \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$2 x = \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 6.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 6.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 7

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 8

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 8.1.2

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 8.1.3

公分母の分子をまとめます。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 8.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 8.1.5

$4 π$ から $π$ を引きます。

$2 x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 8.2

$2 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$2 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 8.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 8.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 8.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 8.2.3.2

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.2.1

$\frac{3 π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 8.2.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 9

方程式 $2 x = \frac{π}{2}$ に対する解です。

$x = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

ステップ 10

$x = \frac{π}{4}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 2 \sin (2 (\frac{π}{4}))$

ステップ 11

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

ステップ 11.1.2

共通因数を約分します。

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

ステップ 11.1.3

式を書き換えます。

$- 2 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 11.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- 2 \cdot 1$

ステップ 11.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2$

ステップ 12

$x = \frac{π}{4}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{π}{4}$ は極大値です

ステップ 13

$x = \frac{π}{4}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{4}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4}) + 7$

ステップ 13.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.1

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4}) + 7$

ステップ 13.2.1.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 7$

ステップ 13.2.1.3

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.3.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

ステップ 13.2.1.3.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

ステップ 13.2.1.3.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

ステップ 13.2.1.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + 7$

ステップ 13.2.1.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + 7$

ステップ 13.2.1.3.6

$2$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + 7$

ステップ 13.2.1.4

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 7$

ステップ 13.2.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 7$

ステップ 13.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

ステップ 13.2.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

ステップ 13.2.1.4.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2}{4} + 7$

ステップ 13.2.1.4.5

指数を求めます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2}{4} + 7$

ステップ 13.2.1.5

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.5.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 (1)}{4} + 7$

ステップ 13.2.1.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.5.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

ステップ 13.2.1.5.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

ステップ 13.2.1.5.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} + 7$

ステップ 13.2.2

$7$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} + 7 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 13.2.3

$7$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} + \frac{7 \cdot 2}{2}$

ステップ 13.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1 + 7 \cdot 2}{2}$

ステップ 13.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.5.1

$7$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1 + 14}{2}$

ステップ 13.2.5.2

$1$ と $14$ をたし算します。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{15}{2}$

ステップ 13.2.6

最終的な答えは $\frac{15}{2}$ です。

$y = \frac{15}{2}$

ステップ 14

$x = \frac{3 π}{4}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 2 \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

ステップ 15

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 (2)})$

ステップ 15.1.2

共通因数を約分します。

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 2})$

ステップ 15.1.3

式を書き換えます。

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 15.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

ステップ 15.3

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 15.4

$- 2 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 2 \cdot - 1$

ステップ 15.4.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$2$

ステップ 16

$x = \frac{3 π}{4}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{3 π}{4}$ は極小値です

ステップ 17

$x = \frac{3 π}{4}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

式の変数 $x$ を $\frac{3 π}{4}$ で置換えます。

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4}) + 7$

ステップ 17.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4}) + 7$

ステップ 17.2.1.2

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{3 π}{4}) + 7$

ステップ 17.2.1.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \cos (\frac{π}{4})) + 7$

ステップ 17.2.1.4

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 7$

ステップ 17.2.1.5

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1.5.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

ステップ 17.2.1.5.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

ステップ 17.2.1.5.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

ステップ 17.2.1.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + 7$

ステップ 17.2.1.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + 7$

ステップ 17.2.1.5.6

$2$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + 7$

ステップ 17.2.1.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 7$

ステップ 17.2.1.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 7$

ステップ 17.2.1.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

ステップ 17.2.1.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1.6.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

ステップ 17.2.1.6.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2}{4} + 7$

ステップ 17.2.1.6.5

指数を求めます。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2}{4} + 7$

ステップ 17.2.1.7

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1.7.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 (1)}{4} + 7$

ステップ 17.2.1.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1.7.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

ステップ 17.2.1.7.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

ステップ 17.2.1.7.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{2} + 7$

ステップ 17.2.2

$7$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{2} + 7 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 17.2.3

$7$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{2} + \frac{7 \cdot 2}{2}$

ステップ 17.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 1 + 7 \cdot 2}{2}$

ステップ 17.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.5.1

$7$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 1 + 14}{2}$

ステップ 17.2.5.2

$- 1$ と $14$ をたし算します。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{13}{2}$

ステップ 17.2.6

最終的な答えは $\frac{13}{2}$ です。

$y = \frac{13}{2}$

ステップ 18

$f (x) = \sin (x) \cos (x) + 7$ の極値です。

$(\frac{π}{4}, \frac{15}{2})$ は極大値です

$(\frac{3 π}{4}, \frac{13}{2})$ は極小値です

ステップ 19

微分積分 例

微分積分例