微分積分例

$y = 4 x - \ln (x)$

ステップ 1

$y = 4 x - \ln (x)$ を関数で書きます。

$f (x) = 4 x - \ln (x)$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $4 x - \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 2.1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 2.1.1.2.3

$4$ に $1$ をかけます。

$4 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 2.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \ln (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$4 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 2.1.1.3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$4 - \frac{1}{x}$

ステップ 2.1.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 4$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $- \frac{1}{x} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.2.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.1.2.2.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.1.2.2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.1.2.2.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.1.2.2.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.1.2.2.6

$x^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.1.2.2.7

$\frac{1}{x}$ に $0$ をかけます。

$x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.1.2.2.8

$x^{- 2}$ と $0$ をたし算します。

$x^{- 2} + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.1.2.3

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$x^{- 2} + 0$

ステップ 2.1.2.4

簡約します。

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ステップ 2.1.2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{2}} + 0$

ステップ 2.1.2.4.2

$\frac{1}{x^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{1}{x^{2}}$ です。

$\frac{1}{x^{2}}$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{1}{x^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{1}{x^{2}} = 0$

ステップ 2.2.2

分子を0に等しくします。

$1 = 0$

ステップ 2.2.3

$1 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

$f (x) = 4 x - \ln (x)$ の定義域を求めます。

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ステップ 3.1

$\ln (x)$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$x > 0$

ステップ 3.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > 0}$

区間記号：

$(0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > 0}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(0, \infty)$

ステップ 5

区間 $(0, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f'' (2) = \frac{1}{{(2)}^{2}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f'' (2) = \frac{1}{4}$

ステップ 5.2.2

最終的な答えは $\frac{1}{4}$ です。

$\frac{1}{4}$

ステップ 5.3

$f'' (2)$ が正なので、区間 $(0, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(0, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例