微分積分例

$\sum_{x = 1}^{4} {(x - 1)}^{2} + {(x + 1)}^{3}$

ステップ 1

総和を簡約します。

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ステップ 1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$(x - 1) (x - 1) + {(x + 1)}^{3}$

ステップ 1.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 1.1.2.1

分配則を当てはめます。

$x (x - 1) - 1 (x - 1) + {(x + 1)}^{3}$

ステップ 1.1.2.2

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + {(x + 1)}^{3}$

ステップ 1.1.2.3

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(x + 1)}^{3}$

ステップ 1.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(x + 1)}^{3}$

ステップ 1.1.3.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(x + 1)}^{3}$

ステップ 1.1.3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(x + 1)}^{3}$

ステップ 1.1.3.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 + {(x + 1)}^{3}$

ステップ 1.1.3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} - x - x + 1 + {(x + 1)}^{3}$

ステップ 1.1.3.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$x^{2} - 2 x + 1 + {(x + 1)}^{3}$

ステップ 1.1.4

二項定理を利用します。

$x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}$

ステップ 1.1.5

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.5.1

$3$ に $1$ をかけます。

$x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}$

ステップ 1.1.5.2

1のすべての数の累乗は1です。

$x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{3}$

ステップ 1.1.5.3

$3$ に $1$ をかけます。

$x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1^{3}$

ステップ 1.1.5.4

1のすべての数の累乗は1です。

$x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$

ステップ 1.2

$x^{2}$ と $3 x^{2}$ をたし算します。

$4 x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x + 1$

ステップ 1.3

$- 2 x$ と $3 x$ をたし算します。

$4 x^{2} + x + 1 + x^{3} + 1$

ステップ 1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$4 x^{2} + x + x^{3} + 2$

ステップ 1.5

総和を書き換えます。

$\sum_{x = 1}^{4} 4 x^{2} + x + x^{3} + 2$

ステップ 2

$x$ の各値の級数を展開します。

$4 \cdot 1^{2} + 1 + 1^{3} + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$1$ を $2$ 乗します。

$4 \cdot 1 + 1 + 1^{3} + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

ステップ 3.2

$4$ に $1$ をかけます。

$4 + 1 + 1^{3} + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

ステップ 3.3

$4$ と $1$ をたし算します。

$5 + 1^{3} + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

ステップ 3.4

$1$ を $3$ 乗します。

$5 + 1 + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

ステップ 3.5

$5$ と $1$ をたし算します。

$6 + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

ステップ 3.6

$6$ と $2$ をたし算します。

$8 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

ステップ 3.7

$2$ を $2$ 乗します。

$8 + 4 \cdot 4 + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

ステップ 3.8

$4$ に $4$ をかけます。

$8 + 16 + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

ステップ 3.9

$16$ と $2$ をたし算します。

$8 + 18 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

ステップ 3.10

$2$ を $3$ 乗します。

$8 + 18 + 8 + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

ステップ 3.11

$18$ と $8$ をたし算します。

$8 + 26 + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

ステップ 3.12

$26$ と $2$ をたし算します。

$8 + 28 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

ステップ 3.13

$8$ と $28$ をたし算します。

$36 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

ステップ 3.14

$3$ を $2$ 乗します。

$36 + 4 \cdot 9 + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

ステップ 3.15

$4$ に $9$ をかけます。

$36 + 36 + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

ステップ 3.16

$36$ と $3$ をたし算します。

$36 + 39 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

ステップ 3.17

$3$ を $3$ 乗します。

$36 + 39 + 27 + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

ステップ 3.18

$39$ と $27$ をたし算します。

$36 + 66 + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

ステップ 3.19

$66$ と $2$ をたし算します。

$36 + 68 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

ステップ 3.20

$36$ と $68$ をたし算します。

$104 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

ステップ 3.21

$4$ を $2$ 乗します。

$104 + 4 \cdot 16 + 4 + 4^{3} + 2$

ステップ 3.22

$4$ に $16$ をかけます。

$104 + 64 + 4 + 4^{3} + 2$

ステップ 3.23

$64$ と $4$ をたし算します。

$104 + 68 + 4^{3} + 2$

ステップ 3.24

$4$ を $3$ 乗します。

$104 + 68 + 64 + 2$

ステップ 3.25

$68$ と $64$ をたし算します。

$104 + 132 + 2$

ステップ 3.26

$132$ と $2$ をたし算します。

$104 + 134$

ステップ 3.27

$104$ と $134$ をたし算します。

$238$

微分積分 例

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