微分積分例

$f (x) = 5 x + \frac{2}{x}$ , $x = 2$

ステップ 1

総和則では、 $5 x + \frac{2}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

ステップ 2.3

$5$ に $1$ をかけます。

$5 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$5 + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 3.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$5 + 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 3.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 + 2 (- x^{- 2})$

ステップ 3.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$5 - 2 x^{- 2}$

ステップ 4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$5 - 2 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

項をまとめます。

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ステップ 5.1.1

$- 2$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$5 + \frac{- 2}{x^{2}}$

ステップ 5.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$5 - \frac{2}{x^{2}}$

ステップ 5.2

項を並べ替えます。

$- \frac{2}{x^{2}} + 5$

ステップ 6

$x = 2$ で微分係数を求めます。

$- \frac{2}{{(2)}^{2}} + 5$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$2$ と ${(2)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{2 (1)}{{(2)}^{2}} + 5$

ステップ 7.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.1.2.1

$2$ を ${(2)}^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{2 (1)}{2 \cdot 2} + 5$

ステップ 7.1.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 5$

ステップ 7.1.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2} + 5$

ステップ 7.2

$5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{1}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 7.3

$5$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

ステップ 7.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 1 + 5 \cdot 2}{2}$

ステップ 7.5

分子を簡約します。

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ステップ 7.5.1

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 1 + 10}{2}$

ステップ 7.5.2

$- 1$ と $10$ をたし算します。

$\frac{9}{2}$

微分積分 例

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