微分積分例

$\int_{0}^{\infty} e^{- x} d x$

ステップ 1

$t$ が $\infty$ に近づくときの、積分を極限として書きます。

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{- x} d x$

ステップ 2

$u = - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$- x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 2.2

$u = - x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 0$

ステップ 2.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 2.4

$u = - x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - t$

ステップ 2.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - t$

ステップ 2.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- t} - e^{u} d u$

ステップ 3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

ステップ 4

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$lim_{t \to \infty} - (e^{u}]_{0}^{- t})$

ステップ 5

代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$- t$ および $0$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$lim_{t \to \infty} - ((e^{- t}) - e^{0})$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$lim_{t \to \infty} - (e^{- t} - 1 \cdot 1)$

ステップ 5.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} - (e^{- t} - 1)$

ステップ 6

極限を求めます。

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ステップ 6.1

極限を求めます。

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ステップ 6.1.1

$- 1$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1$

ステップ 6.1.2

$t$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- (lim_{t \to \infty} e^{- t} - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 6.2

指数 $- t$ が $- \infty$ に近づくので、数 $e^{- t}$ が $0$ に近づきます。

$- (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 6.3

極限を求めます。

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ステップ 6.3.1

$t$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- (0 - 1 \cdot 1)$

ステップ 6.3.2

答えを簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- (0 - 1)$

ステップ 6.3.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$- - 1$

ステップ 6.3.2.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1$

微分積分 例

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