微分積分例

$\cot (θ) (\tan^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) = \tan (θ) \sin^{2} (θ)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\cot (θ) (\tan^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

ステップ 2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

正弦と余弦に関して $\cot (θ)$ を書き換えます。

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\tan^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

正弦と余弦に関して $\tan (θ)$ を書き換えます。

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} ({(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2} - \sin^{2} (θ))$

ステップ 2.2.2

積の法則を $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ に当てはめます。

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \sin^{2} (θ))$

ステップ 2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \sin^{2} (θ))$

ステップ 2.4

まとめる。

$\frac{\cos (θ) \sin^{2} (θ)}{\sin (θ) \cos^{2} (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \sin^{2} (θ))$

ステップ 2.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\cos (θ) \sin^{2} (θ)}{\sin (θ) \cos^{2} (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

ステップ 2.6

各項を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$\cos (θ)$ と $\cos^{2} (θ)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.1.1

$\cos (θ)$ を $\cos (θ) \sin^{2} (θ)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (θ) (\sin^{2} (θ))}{\sin (θ) \cos^{2} (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

ステップ 2.6.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1.2.1

$\cos (θ)$ を $\sin (θ) \cos^{2} (θ)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (θ) (\sin^{2} (θ))}{\cos (θ) (\sin (θ) \cos (θ))} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

ステップ 2.6.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (θ) \sin^{2} (θ)}{\cos (θ) (\sin (θ) \cos (θ))} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

ステップ 2.6.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

ステップ 2.6.2

$\sin^{2} (θ)$ と $\sin (θ)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.2.1

$\sin (θ)$ を $\sin^{2} (θ)$ で因数分解します。

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

ステップ 2.6.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.2.2.1

$\sin (θ)$ を $\sin (θ) \cos (θ)$ で因数分解します。

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ) (\cos (θ))} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

ステップ 2.6.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

ステップ 2.6.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

ステップ 2.6.3

$\sin (θ)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.3.1

$- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

ステップ 2.6.3.2

$\sin (θ)$ を $\sin^{2} (θ)$ で因数分解します。

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ)}{\sin (θ)} (\sin (θ) \sin (θ))$

ステップ 2.6.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ)}{\sin (θ)} (\sin (θ) \sin (θ))$

ステップ 2.6.3.4

式を書き換えます。

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} - \cos (θ) \sin (θ)$

ステップ 3

$- \cos (θ) \sin (θ)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ) \sin (θ)}{1}$

ステップ 4

分数をたし算します。

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ステップ 4.1

$\frac{- \cos (θ) \sin (θ)}{1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ を掛けます。

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ) \sin (θ)}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$

ステップ 4.2

$\frac{- \cos (θ) \sin (θ)}{1}$ に $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ をかけます。

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ) \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ)}$

ステップ 4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sin (θ) - \cos (θ) \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ)}$

ステップ 5

$- \cos (θ) \sin (θ) \cos (θ)$ を掛けます。

$\frac{\sin (θ) - \cos^{2} (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)}$

ステップ 6

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$\frac{\sin (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) \sin (θ)}{\cos (θ)}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$\sin (θ)$ を $\sin (θ) - (1 - {\sin (θ)}^{2}) \sin (θ)$ で因数分解します。

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ステップ 7.1.1.1

$1$ を掛けます。

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 - (1 - {\sin (θ)}^{2}) \sin (θ)}{\cos (θ)}$

ステップ 7.1.1.2

$\sin (θ)$ を $- (1 - {\sin (θ)}^{2}) \sin (θ)$ で因数分解します。

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) (- (1 - {\sin (θ)}^{2}))}{\cos (θ)}$

ステップ 7.1.1.3

$\sin (θ)$ を $\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) (- (1 - {\sin (θ)}^{2}))$ で因数分解します。

$\frac{\sin (θ) (1 - (1 - {\sin (θ)}^{2}))}{\cos (θ)}$

ステップ 7.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (θ) (1 - 1 \cdot 1 - - {\sin (θ)}^{2})}{\cos (θ)}$

ステップ 7.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin (θ) (1 - 1 - - {\sin (θ)}^{2})}{\cos (θ)}$

ステップ 7.1.4

$- - {\sin (θ)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 7.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\sin (θ) (1 - 1 + 1 {\sin (θ)}^{2})}{\cos (θ)}$

ステップ 7.1.4.2

${\sin (θ)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin (θ) (1 - 1 + {\sin (θ)}^{2})}{\cos (θ)}$

ステップ 7.1.5

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{\sin (θ) (0 + {\sin (θ)}^{2})}{\cos (θ)}$

ステップ 7.1.6

$0$ と ${\sin (θ)}^{2}$ をたし算します。

$\frac{\sin (θ) {\sin (θ)}^{2}}{\cos (θ)}$

ステップ 7.2

指数を足して $\sin (θ)$ に ${\sin (θ)}^{2}$ を掛けます。

$\frac{\sin^{3} (θ)}{\cos (θ)}$

ステップ 8

$\frac{\sin^{3} (θ)}{\cos (θ)}$ を $\tan (θ) \sin^{2} (θ)$ に書き換えます。

$\tan (θ) \sin^{2} (θ)$

ステップ 9

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\cot (θ) (\tan^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) = \tan (θ) \sin^{2} (θ)$ は公式です

微分積分 例

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