微分積分例

$f (x) = \frac{(5 \ln (x))}{x}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5 \ln (x)}{x}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

ステップ 1.1.1.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$5 \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.1.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$5 \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.1.4

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$5 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.1.4.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.2.1

共通因数を約分します。

$5 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.1.4.2.2

式を書き換えます。

$5 \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.1.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.1.4.4

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$5 \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

ステップ 1.1.1.4.4.2

$5$ と $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{5 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

ステップ 1.1.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- \ln (x))}{x^{2}}$

ステップ 1.1.1.5.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.2.1

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{5 + 5 (- \ln (x))}{x^{2}}$

ステップ 1.1.1.5.2.2

$5 (- \ln (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.2.2.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{5 - 5 \ln (x)}{x^{2}}$

ステップ 1.1.1.5.2.2.2

対数の中の $5$ を移動させて $- 5 \ln (x)$ を簡約します。

$f' (x) = \frac{5 - \ln (x^{5})}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$f (x) = 5 - \ln (x^{5})$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 - \ln (x^{5})] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 - \ln (x^{5})] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 - \ln (x^{5})] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.2.2

総和則では、 $5 - \ln (x^{5})$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{5})]$ です。

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{5})]) - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.2.3

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{5})]) - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.2.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{5})]$ をたし算します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [- \ln (x^{5})] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.2.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \ln (x^{5})$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{5})]$ です。

$\frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} [\ln (x^{5})]) - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{5}$ とします。

$\frac{x^{2} (- (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{5}])) - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{x^{2} (- (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{5}])) - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{5}$ で置き換えます。

$\frac{x^{2} (- (\frac{1}{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}])) - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.4

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{x^{5}}$ をまとめます。

$\frac{- \frac{x^{2}}{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.2

$x^{2}$ と $x^{5}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{- \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.2.2.1

$x^{2}$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{- \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{5}] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{- \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{5}] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{5}] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.3

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{- \frac{1}{x^{3}} (5 x^{4}) - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.4.1

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 5 \frac{1}{x^{3}} x^{4} - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.4.2

$- 5$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$\frac{\frac{- 5}{x^{3}} x^{4} - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.4.3

$\frac{- 5}{x^{3}}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{\frac{- 5 x^{4}}{x^{3}} - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.4.4

$x^{4}$ と $x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.4.4.1

$x^{3}$ を $- 5 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{x^{3} (- 5 x)}{x^{3}} - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.4.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.4.4.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{\frac{x^{3} (- 5 x)}{x^{3} \cdot 1} - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.4.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{x^{3} (- 5 x)}{x^{3} \cdot 1} - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.4.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{- 5 x}{1} - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.4.4.2.4

$- 5 x$ を $1$ で割ります。

$\frac{- 5 x - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{- 5 x - (5 - \ln (x^{5})) (2 x)}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.6

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.6.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 5 x - 2 (5 - \ln (x^{5})) x}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.6.2

$x$ を $- 5 x - 2 (5 - \ln (x^{5})) x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.6.2.1

$x$ を $- 5 x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot - 5 - 2 (5 - \ln (x^{5})) x}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.6.2.2

$x$ を $- 2 (5 - \ln (x^{5})) x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot - 5 + x (- 2 (5 - \ln (x^{5})))}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.6.2.3

$x$ を $x \cdot - 5 + x (- 2 (5 - \ln (x^{5})))$ で因数分解します。

$\frac{x (- 5 - 2 (5 - \ln (x^{5})))}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.5

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x (- 5 - 2 (5 - \ln (x^{5})))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 1.1.2.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{x (- 5 - 2 (5 - \ln (x^{5})))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 1.1.2.5.3

式を書き換えます。

$\frac{- 5 - 2 (5 - \ln (x^{5}))}{x^{3}}$

ステップ 1.1.2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- 5 - 2 \cdot 5 - 2 (- \ln (x^{5}))}{x^{3}}$

ステップ 1.1.2.6.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.2.1.1

$- 2$ に $5$ をかけます。

$\frac{- 5 - 10 - 2 (- \ln (x^{5}))}{x^{3}}$

ステップ 1.1.2.6.2.1.2

$- 2 (- \ln (x^{5}))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.2.1.2.1

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{- 5 - 10 + 2 \ln (x^{5})}{x^{3}}$

ステップ 1.1.2.6.2.1.2.2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (x^{5})$ を簡約します。

$\frac{- 5 - 10 + \ln ({(x^{5})}^{2})}{x^{3}}$

ステップ 1.1.2.6.2.1.3

${(x^{5})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{- 5 - 10 + \ln (x^{5 \cdot 2})}{x^{3}}$

ステップ 1.1.2.6.2.1.3.2

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 5 - 10 + \ln (x^{10})}{x^{3}}$

ステップ 1.1.2.6.2.2

$- 5$ から $10$ を引きます。

$\frac{- 15 + \ln (x^{10})}{x^{3}}$

ステップ 1.1.2.6.3

$- 15$ を $- 1 (15)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (15) + \ln (x^{10})}{x^{3}}$

ステップ 1.1.2.6.4

$- 1$ を $\ln (x^{10})$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (15) - 1 (- \ln (x^{10}))}{x^{3}}$

ステップ 1.1.2.6.5

$- 1$ を $- 1 (15) - 1 (- \ln (x^{10}))$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (15 - \ln (x^{10}))}{x^{3}}$

ステップ 1.1.2.6.6

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{15 - \ln (x^{10})}{x^{3}}$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- \frac{15 - \ln (x^{10})}{x^{3}}$ です。

$- \frac{15 - \ln (x^{10})}{x^{3}}$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{15 - \ln (x^{10})}{x^{3}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{15 - \ln (x^{10})}{x^{3}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$15 - \ln (x^{10}) = 0$

ステップ 1.2.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

方程式の両辺から $15$ を引きます。

$- \ln (x^{10}) = - 15$

ステップ 1.2.3.2

$- \ln (x^{10}) = - 15$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$- \ln (x^{10}) = - 15$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \ln (x^{10})}{- 1} = \frac{- 15}{- 1}$

ステップ 1.2.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\ln (x^{10})}{1} = \frac{- 15}{- 1}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

$\ln (x^{10})$ を $1$ で割ります。

$\ln (x^{10}) = \frac{- 15}{- 1}$

ステップ 1.2.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.3.1

$- 15$ を $- 1$ で割ります。

$\ln (x^{10}) = 15$

ステップ 1.2.3.3

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x^{10})} = e^{15}$

ステップ 1.2.3.4

対数の定義を利用して $\ln (x^{10}) = 15$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{15} = x^{10}$

ステップ 1.2.3.5

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.3.5.1

方程式を $x^{10} = e^{15}$ として書き換えます。

$x^{10} = e^{15}$

ステップ 1.2.3.5.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt[10]{e^{15}}$

ステップ 1.2.3.5.3

$\pm \sqrt[10]{e^{15}}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.3.5.3.1

$e^{10}$ を因数分解します。

$x = \pm \sqrt[10]{e^{10} e^{5}}$

ステップ 1.2.3.5.3.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm e \sqrt[10]{e^{5}}$

ステップ 1.2.3.5.3.3

$\sqrt[10]{e^{5}}$ を $\sqrt{\sqrt[5]{e^{5}}}$ に書き換えます。

$x = \pm e \sqrt{\sqrt[5]{e^{5}}}$

ステップ 1.2.3.5.3.4

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm e \sqrt{e}$

ステップ 1.2.3.5.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.2.3.5.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = e \sqrt{e}$

ステップ 1.2.3.5.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - e \sqrt{e}$

ステップ 1.2.3.5.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = e \sqrt{e}, - e \sqrt{e}$

ステップ 2

$f (x) = \frac{5 \ln (x)}{x}$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.1

$\ln (x)$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$x > 0$

ステップ 2.2

$\frac{5 \ln (x)}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 2.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > 0}$

区間記号：

$(0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > 0}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(0, e \sqrt{e}) \cup (e \sqrt{e}, \infty)$

ステップ 4

区間 $(0, e \sqrt{e})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f'' (2) = - \frac{15 - \ln ({(2)}^{10})}{{(2)}^{3}}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$2$ を $10$ 乗します。

$f'' (2) = - \frac{15 - \ln (1024)}{2^{3}}$

ステップ 4.2.2

$2$ を $3$ 乗します。

$f'' (2) = - \frac{15 - \ln (1024)}{8}$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $- \frac{15 - \ln (1024)}{8}$ です。

$- \frac{15 - \ln (1024)}{8}$

ステップ 4.3

$f'' (2)$ が負なので、区間 $(0, e \sqrt{e})$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(0, e \sqrt{e})$ で下に凹します。

ステップ 5

区間 $(e \sqrt{e}, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $7$ で置換えます。

$f'' (7) = - \frac{15 - \ln ({(7)}^{10})}{{(7)}^{3}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$7$ を $10$ 乗します。

$f'' (7) = - \frac{15 - \ln (282475249)}{7^{3}}$

ステップ 5.2.2

$7$ を $3$ 乗します。

$f'' (7) = - \frac{15 - \ln (282475249)}{343}$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- \frac{15 - \ln (282475249)}{343}$ です。

$- \frac{15 - \ln (282475249)}{343}$

ステップ 5.3

$f'' (7)$ が正なので、区間 $(e \sqrt{e}, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(e \sqrt{e}, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 6

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(0, e \sqrt{e})$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(e \sqrt{e}, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例