微分積分例

$\int_{1}^{2 x} \frac{t^{2}}{t^{2} + 1} d t$

ステップ 1

微積分学の基本定理と連鎖律を利用して、 $x$ に関する $\int_{1}^{2 x} \frac{t^{2}}{t^{2} + 1} d t$ の微分係数を取ります。

$\frac{d}{d x} [2 x] \frac{{(2 x)}^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] \frac{{(2 x)}^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 \frac{{(2 x)}^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

ステップ 2.3

項を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{{(2 x)}^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

ステップ 2.3.2

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$2 \frac{{(2 (x))}^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

ステップ 2.3.3

式を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

積の法則を $2 (x)$ に当てはめます。

$2 \frac{2^{2} x^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

ステップ 2.3.3.2

$2$ を $2$ 乗します。

$2 \frac{4 x^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

ステップ 2.3.4

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$2 \frac{4 x^{2}}{{(2 (x))}^{2} + 1}$

ステップ 2.3.5

式を簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

積の法則を $2 (x)$ に当てはめます。

$2 \frac{4 x^{2}}{2^{2} x^{2} + 1}$

ステップ 2.3.5.2

$2$ を $2$ 乗します。

$2 \frac{4 x^{2}}{4 x^{2} + 1}$

ステップ 2.3.6

$2$ と $\frac{4 x^{2}}{4 x^{2} + 1}$ をまとめます。

$\frac{2 (4 x^{2})}{4 x^{2} + 1}$

ステップ 2.3.7

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{8 x^{2}}{4 x^{2} + 1}$

微分積分 例

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