微分積分例

$\int_{x}^{x^{2}} t^{2} d t$

ステップ 1

積分を2つの積分に分割し、 $c$ が $x$ と $x^{2}$ の間の値になるようにます。

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} t^{2} d t + \int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t]$

ステップ 2

総和則では、 $\int_{x}^{c} t^{2} d t + \int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} t^{2} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t]$ です。

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} t^{2} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t]$

ステップ 3

積分の境界を入れ替えます。

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{x} t^{2} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t]$

ステップ 4

微積分学の基本定理を利用して、 $x$ に関する $- \int_{c}^{x} t^{2} d t$ の微分係数を取ります。

$- x^{2} + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t]$

ステップ 5

微積分学の基本定理と連鎖律を利用して、 $x$ に関する $\int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t$ の微分係数を取ります。

$- x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] {(x^{2})}^{2}$

ステップ 6

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 6.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x^{2} + 2 x {(x^{2})}^{2}$

ステップ 6.2

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- x^{2} + 2 x \cdot x^{2 \cdot 2}$

ステップ 6.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- x^{2} + 2 x \cdot x^{4}$

ステップ 7

指数を足して $x$ に $x^{4}$ を掛けます。

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ステップ 7.1

$x^{4}$ を移動させます。

$- x^{2} + 2 (x^{4} x)$

ステップ 7.2

$x^{4}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 7.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- x^{2} + 2 (x^{4} x^{1})$

ステップ 7.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- x^{2} + 2 x^{4 + 1}$

ステップ 7.3

$4$ と $1$ をたし算します。

$- x^{2} + 2 x^{5}$

ステップ 8

項を並べ替えます。

$2 x^{5} - x^{2}$

微分積分 例

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