微分積分例

$y = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$

ステップ 1

$y = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $\frac{1}{x} + \sqrt{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

ステップ 2.1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.1.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

ステップ 2.1.3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 2.1.3.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 2.1.3.5

公分母の分子をまとめます。

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 2.1.3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

ステップ 2.1.3.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

ステップ 2.1.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 2.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 2.1.4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.2.2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.2.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2}$ とします。

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.2.2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.2.2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.2.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.2.2.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.2.2.6

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.2.2.6.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$- (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.2.2.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.2.2.8

$x$ を $1$ 乗します。

$- (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.2.2.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.2.2.10

$1$ から $4$ を引きます。

$- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.2.2.11

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.2.2.12

$\frac{1}{x^{2}}$ に $0$ をかけます。

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.2.2.13

$2 x^{- 3}$ と $0$ をたし算します。

$2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.2.3.2

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ を ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

ステップ 2.2.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ とします。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 2.2.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 2.2.3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 2.2.3.4

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

ステップ 2.2.3.5

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

ステップ 2.2.3.5.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.5.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

ステップ 2.2.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

ステップ 2.2.3.5.2.3

式を書き換えます。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

ステップ 2.2.3.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

ステップ 2.2.3.7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

ステップ 2.2.3.8

公分母の分子をまとめます。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

ステップ 2.2.3.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

ステップ 2.2.3.9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

ステップ 2.2.3.10

分数の前に負数を移動させます。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

ステップ 2.2.3.11

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 2.2.3.12

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $x^{- 1}$ をまとめます。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

ステップ 2.2.3.13

指数を足して $x^{- \frac{1}{2}}$ に $x^{- 1}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.13.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

ステップ 2.2.3.13.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

ステップ 2.2.3.13.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

ステップ 2.2.3.13.4

公分母の分子をまとめます。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

ステップ 2.2.3.13.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.13.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

ステップ 2.2.3.13.5.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

ステップ 2.2.3.13.6

分数の前に負数を移動させます。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

ステップ 2.2.3.14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 2.2.3.15

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ をかけます。

$2 x^{- 3} - \frac{1}{2 (2 x^{\frac{3}{2}})}$

ステップ 2.2.3.16

$2$ に $2$ をかけます。

$2 x^{- 3} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2 \frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.2.4.2

$2$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ です。

$\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

ステップ 3.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{3}, 4 x^{\frac{3}{2}}, 1$

ステップ 3.2.2

$x^{3}, 4 x^{\frac{3}{2}}, 1$ には数と変数があるので、最小公倍数を求めるには2段階あります。数値部 $1, 4, 1$ の最小公倍数を求め、次に変数部 $x^{3}, x^{\frac{3}{2}}$ の最小公倍数を求めます。

ステップ 3.2.3

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 3.2.4

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 3.2.5

$4$ には $2$ と $2$ の因数があります。

$2 \cdot 2$

ステップ 3.2.6

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 3.2.7

$1, 4, 1$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$2 \cdot 2$

ステップ 3.2.8

$2$ に $2$ をかけます。

$4$

ステップ 3.2.9

$x^{3}, x^{\frac{3}{2}}$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$x^{3}$

ステップ 3.2.10

$x^{3}, 4 x^{\frac{3}{2}}, 1$ の最小公倍数は数値部分 $4$ に変数部分を掛けたものです。

$4 x^{3}$

ステップ 3.3

$\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ の各項に $4 x^{3}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ の各項に $4 x^{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{x^{3}} (4 x^{3}) - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 \frac{2}{x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

ステップ 3.3.2.1.2

$4 \frac{2}{x^{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.2.1

$4$ と $\frac{2}{x^{3}}$ をまとめます。

$\frac{4 \cdot 2}{x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

ステップ 3.3.2.1.2.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{8}{x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

ステップ 3.3.2.1.3

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{8}{x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

ステップ 3.3.2.1.3.2

式を書き換えます。

$8 - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

ステップ 3.3.2.1.4

$x^{\frac{3}{2}} \cdot 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.4.1

$- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$8 + \frac{- 1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

ステップ 3.3.2.1.4.2

$x^{\frac{3}{2}} \cdot 4$ を $4 x^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$8 + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 4 (1)} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

ステップ 3.3.2.1.4.3

$x^{\frac{3}{2}} \cdot 4$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$8 + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 4 (1)} (x^{\frac{3}{2}} \cdot 4 (x^{\frac{3}{2}})) = 0 (4 x^{3})$

ステップ 3.3.2.1.4.4

共通因数を約分します。

$8 + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 4 \cdot 1} (x^{\frac{3}{2}} \cdot 4 x^{\frac{3}{2}}) = 0 (4 x^{3})$

ステップ 3.3.2.1.4.5

式を書き換えます。

$8 - x^{\frac{3}{2}} = 0 (4 x^{3})$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$0 (4 x^{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.1

$4$ に $0$ をかけます。

$8 - x^{\frac{3}{2}} = 0 x^{3}$

ステップ 3.3.3.1.2

$0$ に $x^{3}$ をかけます。

$8 - x^{\frac{3}{2}} = 0$

ステップ 3.4

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$- x^{\frac{3}{2}} = - 8$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺を $\frac{2}{3}$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(- x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 3.4.3

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.1

${(- x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.1.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.1.1.1

積の法則を $- x^{\frac{3}{2}}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 3.4.3.1.1.1.2

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

${({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 3.4.3.1.1.1.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 3.4.3.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 3.4.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(- 1)}^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 3.4.3.1.1.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.1.3.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 3.4.3.1.1.3.2

${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ に $1$ をかけます。

${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 3.4.3.1.1.3.3

${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.1.3.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 3.4.3.1.1.3.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.1.3.3.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 3.4.3.1.1.3.3.2.2

式を書き換えます。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 3.4.3.1.1.3.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.1.3.3.3.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 3.4.3.1.1.3.3.3.2

式を書き換えます。

$x^{1} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 3.4.3.1.1.4

簡約します。

$x = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 3.4.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.2.1

${(- 8)}^{\frac{2}{3}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.2.1.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.2.1.1.1

$- 8$ を ${(- 2)}^{3}$ に書き換えます。

$x = {({(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 3.4.3.2.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}$

ステップ 3.4.3.2.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$x = {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}$

ステップ 3.4.3.2.1.2.2

式を書き換えます。

$x = {(- 2)}^{2}$

ステップ 3.4.3.2.1.3

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = 4$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$4$ を $f (x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f (4) = \frac{1}{4} + \sqrt{4}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (4) = \frac{1}{4} + \sqrt{2^{2}}$

ステップ 4.1.2.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (4) = \frac{1}{4} + 2$

ステップ 4.1.2.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f (4) = \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 4.1.2.3

$2$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$f (4) = \frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

ステップ 4.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (4) = \frac{1 + 2 \cdot 4}{4}$

ステップ 4.1.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.5.1

$2$ に $4$ をかけます。

$f (4) = \frac{1 + 8}{4}$

ステップ 4.1.2.5.2

$1$ と $8$ をたし算します。

$f (4) = \frac{9}{4}$

ステップ 4.1.2.6

最終的な答えは $\frac{9}{4}$ です。

$\frac{9}{4}$

ステップ 4.2

$f (x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$ で代入して $4$ 求めた点は、 $(4, \frac{9}{4})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(4, \frac{9}{4})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, 4)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $3.9$ で置換えます。

$f'' (3.9) = \frac{2}{{(3.9)}^{3}} - \frac{1}{4 {(3.9)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$3.9$ を $3$ 乗します。

$f'' (3.9) = \frac{2}{59.319} - \frac{1}{4 {(3.9)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 6.2.1.2

$2$ を $59.319$ で割ります。

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 {(3.9)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 6.2.1.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.1

$3.9$ を ${1.97484176}^{2}$ に書き換えます。

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 \cdot {({1.97484176}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 6.2.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 \cdot {1.97484176}^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 6.2.1.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.3.1

共通因数を約分します。

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 \cdot {1.97484176}^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 6.2.1.3.3.2

式を書き換えます。

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 \cdot {1.97484176}^{3}}$

ステップ 6.2.1.3.4

$1.97484176$ を $3$ 乗します。

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 \cdot 7.70188288}$

ステップ 6.2.1.4

$4$ に $7.70188288$ をかけます。

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{30.80753154}$

ステップ 6.2.1.5

$1$ を $30.80753154$ で割ります。

$f'' (3.9) = 0.03371601 - 1 \cdot 0.03245959$

ステップ 6.2.1.6

$- 1$ に $0.03245959$ をかけます。

$f'' (3.9) = 0.03371601 - 0.03245959$

ステップ 6.2.2

$0.03371601$ から $0.03245959$ を引きます。

$f'' (3.9) = 0.00125641$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $0.00125641$ です。

$0.00125641$

ステップ 6.3

$3.9$ で二次導関数は $0.00125641$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, 4)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, 4)$ で増加

ステップ 7

区間 $(4, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $4.1$ で置換えます。

$f'' (4.1) = \frac{2}{{(4.1)}^{3}} - \frac{1}{4 {(4.1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$4.1$ を $3$ 乗します。

$f'' (4.1) = \frac{2}{68.921} - \frac{1}{4 {(4.1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 7.2.1.2

$2$ を $68.921$ で割ります。

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 {(4.1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 7.2.1.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.3.1

$4.1$ を ${2.02484567}^{2}$ に書き換えます。

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 \cdot {({2.02484567}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 7.2.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 \cdot {2.02484567}^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 7.2.1.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.3.3.1

共通因数を約分します。

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 \cdot {2.02484567}^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 7.2.1.3.3.2

式を書き換えます。

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 \cdot {2.02484567}^{3}}$

ステップ 7.2.1.3.4

$2.02484567$ を $3$ 乗します。

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 \cdot 8.30186725}$

ステップ 7.2.1.4

$4$ に $8.30186725$ をかけます。

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{33.20746903}$

ステップ 7.2.1.5

$1$ を $33.20746903$ で割ります。

$f'' (4.1) = 0.02901873 - 1 \cdot 0.0301137$

ステップ 7.2.1.6

$- 1$ に $0.0301137$ をかけます。

$f'' (4.1) = 0.02901873 - 0.0301137$

ステップ 7.2.2

$0.02901873$ から $0.0301137$ を引きます。

$f'' (4.1) = - 0.00109497$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 0.00109497$ です。

$- 0.00109497$

ステップ 7.3

$4.1$ で二次導関数は $- 0.00109497$ です。これは負の値なので、 $(4, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(4, \infty)$ で減少

ステップ 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(4, \frac{9}{4})$ です。

$(4, \frac{9}{4})$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例