微分積分例

$f (x) = \frac{49 x^{2} + 36}{x}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = 49 x^{2} + 36$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [49 x^{2} + 36] - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $49 x^{2} + 36$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [49 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ です。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [49 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.2.2

$49$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $49 x^{2}$ の微分係数は $49 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{x (49 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (49 (2 x) + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.2.4

$2$ に $49$ をかけます。

$\frac{x (98 x + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.2.5

$36$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $36$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x (98 x + 0) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.2.6

$98 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x (98 x) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{98 (x^{1} x) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{98 (x^{1} x^{1}) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{98 x^{1 + 1} - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2} + 36) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 1.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2} + 36)}{x^{2}}$

ステップ 1.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2}) - 1 \cdot 36}{x^{2}}$

ステップ 1.9.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.2.1.1

$49$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{98 x^{2} - 49 x^{2} - 1 \cdot 36}{x^{2}}$

ステップ 1.9.2.1.2

$- 1$ に $36$ をかけます。

$\frac{98 x^{2} - 49 x^{2} - 36}{x^{2}}$

ステップ 1.9.2.2

$98 x^{2}$ から $49 x^{2}$ を引きます。

$\frac{49 x^{2} - 36}{x^{2}}$

ステップ 1.9.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.3.1

$49 x^{2}$ を ${(7 x)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(7 x)}^{2} - 36}{x^{2}}$

ステップ 1.9.3.2

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(7 x)}^{2} - 6^{2}}{x^{2}}$

ステップ 1.9.3.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 7 x$ であり、 $b = 6$ です。

$\frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = (7 x + 6) (7 x - 6)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((7 x + 6) (7 x - 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.2

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((7 x + 6) (7 x - 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((7 x + 6) (7 x - 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.3

$f (x) = 7 x + 6$ および $g (x) = 7 x - 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((7 x + 6) \frac{d}{d x} (7 x - 6) + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

総和則では、 $7 x - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((7 x + 6) (\frac{d}{d x} (7 x) + \frac{d}{d x} (- 6)) + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.4.2

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((7 x + 6) (7 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)) + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((7 x + 6) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 6)) + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.4.4

$7$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((7 x + 6) (7 + \frac{d}{d x} (- 6)) + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.4.5

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((7 x + 6) (7 + 0) + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.4.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.1

$7$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((7 x + 6) \cdot 7 + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.4.6.2

$7$ を $7 x + 6$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 \cdot (7 x + 6) + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.4.7

総和則では、 $7 x + 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [6]$ です。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + (7 x - 6) (\frac{d}{d x} (7 x) + \frac{d}{d x} (6))) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.4.8

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + (7 x - 6) (7 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6))) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.4.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + (7 x - 6) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6))) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.4.10

$7$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + (7 x - 6) (7 + \frac{d}{d x} (6))) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.4.11

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + (7 x - 6) (7 + 0)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.4.12

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.12.1

$7$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + (7 x - 6) \cdot 7) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.4.12.2

$7$ を $7 x - 6$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + 7 \cdot (7 x - 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.4.13

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) (2 x)}{x^{4}}$

ステップ 2.4.14

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.14.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6)) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6) x}{x^{4}}$

ステップ 2.4.14.2

$x$ を $x^{2} (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6)) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6) x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.14.2.1

$x$ を $x^{2} (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6))$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{x (x (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6))) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6) x}{x^{4}}$

ステップ 2.4.14.2.2

$x$ を $- 2 (7 x + 6) (7 x - 6) x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{x (x (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6))) + x (- 2 (7 x + 6) (7 x - 6))}{x^{4}}$

ステップ 2.4.14.2.3

$x$ を $x (x (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6))) + x (- 2 (7 x + 6) (7 x - 6))$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{x (x (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6)) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6))}{x^{4}}$

ステップ 2.5

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{x (x (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6)) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 2.5.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{x (x (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6)) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 2.5.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6)) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

ステップ 2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x) + 7 \cdot 6 + 7 (7 x - 6)) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

ステップ 2.6.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x) + 7 \cdot 6 + 7 (7 x) + 7 \cdot - 6) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

ステップ 2.6.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x)) + x (7 \cdot 6) + x (7 (7 x)) + x (7 \cdot - 6) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

ステップ 2.6.4

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x)) + x (7 \cdot 6) + x (7 (7 x)) + x (7 \cdot - 6) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

ステップ 2.6.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.5.1

$x (7 (7 x)) + x (7 \cdot 6) + x (7 (7 x)) + x (7 \cdot - 6) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.5.1.1

$x (7 \cdot 6)$ と $x (7 \cdot - 6)$ について因数を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x)) + 6 \cdot (7 x) + x (7 (7 x)) - 6 \cdot (7 x) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

ステップ 2.6.5.1.2

$6 \cdot 7 x$ から $6 \cdot 7 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x)) + x (7 (7 x)) + 0 + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

ステップ 2.6.5.1.3

$x (7 (7 x)) + x (7 (7 x))$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x)) + x (7 (7 x)) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

ステップ 2.6.5.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.5.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{7 \cdot (7 x \cdot x) + x (7 (7 x)) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

ステップ 2.6.5.2.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.5.2.2.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{7 \cdot (7 (x \cdot x)) + x (7 (7 x)) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

ステップ 2.6.5.2.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{7 \cdot (7 x^{2}) + x (7 (7 x)) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

ステップ 2.6.5.2.3

$7$ に $7$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + x (7 (7 x)) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

ステップ 2.6.5.2.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 7 \cdot (7 x \cdot x) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

ステップ 2.6.5.2.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.5.2.5.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 7 \cdot (7 (x \cdot x)) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

ステップ 2.6.5.2.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 7 \cdot (7 x^{2}) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

ステップ 2.6.5.2.6

$7$ に $7$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

ステップ 2.6.5.2.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.5.2.7.1

$7$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} + (- 14 x - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

ステップ 2.6.5.2.7.2

$- 2$ に $6$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} + (- 14 x - 12) (7 x - 6)}{x^{3}}$

ステップ 2.6.5.2.8

分配法則（FOIL法）を使って $(- 14 x - 12) (7 x - 6)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.5.2.8.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 14 x (7 x - 6) - 12 (7 x - 6)}{x^{3}}$

ステップ 2.6.5.2.8.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 14 x (7 x) - 14 x \cdot - 6 - 12 (7 x - 6)}{x^{3}}$

ステップ 2.6.5.2.8.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 14 x (7 x) - 14 x \cdot - 6 - 12 (7 x) - 12 \cdot - 6}{x^{3}}$

ステップ 2.6.5.2.9

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.5.2.9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.5.2.9.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 14 \cdot (7 x \cdot x) - 14 x \cdot - 6 - 12 (7 x) - 12 \cdot - 6}{x^{3}}$

ステップ 2.6.5.2.9.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.5.2.9.1.2.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 14 \cdot (7 (x \cdot x)) - 14 x \cdot - 6 - 12 (7 x) - 12 \cdot - 6}{x^{3}}$

ステップ 2.6.5.2.9.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 14 \cdot (7 x^{2}) - 14 x \cdot - 6 - 12 (7 x) - 12 \cdot - 6}{x^{3}}$

ステップ 2.6.5.2.9.1.3

$- 14$ に $7$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 98 x^{2} - 14 x \cdot - 6 - 12 (7 x) - 12 \cdot - 6}{x^{3}}$

ステップ 2.6.5.2.9.1.4

$- 6$ に $- 14$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 98 x^{2} + 84 x - 12 (7 x) - 12 \cdot - 6}{x^{3}}$

ステップ 2.6.5.2.9.1.5

$7$ に $- 12$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 98 x^{2} + 84 x - 84 x - 12 \cdot - 6}{x^{3}}$

ステップ 2.6.5.2.9.1.6

$- 12$ に $- 6$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 98 x^{2} + 84 x - 84 x + 72}{x^{3}}$

ステップ 2.6.5.2.9.2

$84 x$ から $84 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 98 x^{2} + 0 + 72}{x^{3}}$

ステップ 2.6.5.2.9.3

$- 98 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 98 x^{2} + 72}{x^{3}}$

ステップ 2.6.5.3

$49 x^{2}$ と $49 x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{98 x^{2} - 98 x^{2} + 72}{x^{3}}$

ステップ 2.6.5.4

$98 x^{2}$ から $98 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{0 + 72}{x^{3}}$

ステップ 2.6.5.5

$0$ と $72$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{72}{x^{3}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [49 x^{2} + 36] - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

総和則では、 $49 x^{2} + 36$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [49 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ です。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [49 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.1.2.2

$49$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $49 x^{2}$ の微分係数は $49 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{x (49 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.1.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (49 (2 x) + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.1.2.4

$2$ に $49$ をかけます。

$\frac{x (98 x + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.1.2.5

$36$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $36$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x (98 x + 0) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.1.2.6

$98 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x (98 x) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{98 (x^{1} x) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{98 (x^{1} x^{1}) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{98 x^{1 + 1} - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.1.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2} + 36) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 4.1.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2} + 36)}{x^{2}}$

ステップ 4.1.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2}) - 1 \cdot 36}{x^{2}}$

ステップ 4.1.9.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.9.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.9.2.1.1

$49$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{98 x^{2} - 49 x^{2} - 1 \cdot 36}{x^{2}}$

ステップ 4.1.9.2.1.2

$- 1$ に $36$ をかけます。

$\frac{98 x^{2} - 49 x^{2} - 36}{x^{2}}$

ステップ 4.1.9.2.2

$98 x^{2}$ から $49 x^{2}$ を引きます。

$\frac{49 x^{2} - 36}{x^{2}}$

ステップ 4.1.9.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.9.3.1

$49 x^{2}$ を ${(7 x)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(7 x)}^{2} - 36}{x^{2}}$

ステップ 4.1.9.3.2

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(7 x)}^{2} - 6^{2}}{x^{2}}$

ステップ 4.1.9.3.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 7 x$ であり、 $b = 6$ です。

$f' (x) = \frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}}$ です。

$\frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$(7 x + 6) (7 x - 6) = 0$

ステップ 5.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$7 x + 6 = 0$

$7 x - 6 = 0$

ステップ 5.3.2

$7 x + 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$7 x + 6$ が $0$ に等しいとします。

$7 x + 6 = 0$

ステップ 5.3.2.2

$x$ について $7 x + 6 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$7 x = - 6$

ステップ 5.3.2.2.2

$7 x = - 6$ の各項を $7$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.2.1

$7 x = - 6$ の各項を $7$ で割ります。

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 6}{7}$

ステップ 5.3.2.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.2.2.1

$7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 6}{7}$

ステップ 5.3.2.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 6}{7}$

ステップ 5.3.2.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{6}{7}$

ステップ 5.3.3

$7 x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$7 x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$7 x - 6 = 0$

ステップ 5.3.3.2

$x$ について $7 x - 6 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1

方程式の両辺に $6$ を足します。

$7 x = 6$

ステップ 5.3.3.2.2

$7 x = 6$ の各項を $7$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.2.1

$7 x = 6$ の各項を $7$ で割ります。

$\frac{7 x}{7} = \frac{6}{7}$

ステップ 5.3.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.2.2.1

$7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{7 x}{7} = \frac{6}{7}$

ステップ 5.3.3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{6}{7}$

ステップ 5.3.4

最終解は $(7 x + 6) (7 x - 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{6}{7}, \frac{6}{7}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 6.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 6.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 6.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = - \frac{6}{7}, \frac{6}{7}$

ステップ 8

$x = - \frac{6}{7}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{72}{{(- \frac{6}{7})}^{3}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

積の法則を $- \frac{6}{7}$ に当てはめます。

$\frac{72}{{(- 1)}^{3} {(\frac{6}{7})}^{3}}$

ステップ 9.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{72}{- {(\frac{6}{7})}^{3}}$

ステップ 9.1.3

積の法則を $\frac{6}{7}$ に当てはめます。

$\frac{72}{- \frac{6^{3}}{7^{3}}}$

ステップ 9.1.4

$6$ を $3$ 乗します。

$\frac{72}{- \frac{216}{7^{3}}}$

ステップ 9.1.5

$7$ を $3$ 乗します。

$\frac{72}{- \frac{216}{343}}$

ステップ 9.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$72 (- \frac{343}{216})$

ステップ 9.3

$72$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$- \frac{343}{216}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$72 (\frac{- 343}{216})$

ステップ 9.3.2

$72$ を $216$ で因数分解します。

$72 \frac{- 343}{72 (3)}$

ステップ 9.3.3

共通因数を約分します。

$72 \frac{- 343}{72 \cdot 3}$

ステップ 9.3.4

式を書き換えます。

$\frac{- 343}{3}$

ステップ 9.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{343}{3}$

ステップ 10

$x = - \frac{6}{7}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \frac{6}{7}$ は極大値です

ステップ 11

$x = - \frac{6}{7}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $- \frac{6}{7}$ で置換えます。

$f (- \frac{6}{7}) = \frac{49 {(- \frac{6}{7})}^{2} + 36}{- \frac{6}{7}}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (- \frac{6}{7}) = (49 {(- \frac{6}{7})}^{2} + 36) (- \frac{7}{6})$

ステップ 11.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1.1

積の法則を $- \frac{6}{7}$ に当てはめます。

$f (- \frac{6}{7}) = (49 ({(- 1)}^{2} {(\frac{6}{7})}^{2}) + 36) (- \frac{7}{6})$

ステップ 11.2.2.1.2

積の法則を $\frac{6}{7}$ に当てはめます。

$f (- \frac{6}{7}) = (49 ({(- 1)}^{2} (\frac{6^{2}}{7^{2}})) + 36) (- \frac{7}{6})$

ステップ 11.2.2.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{6}{7}) = (49 (1 (\frac{6^{2}}{7^{2}})) + 36) (- \frac{7}{6})$

ステップ 11.2.2.3

$\frac{6^{2}}{7^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{6}{7}) = (49 (\frac{6^{2}}{7^{2}}) + 36) (- \frac{7}{6})$

ステップ 11.2.2.4

$6$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{6}{7}) = (49 (\frac{36}{7^{2}}) + 36) (- \frac{7}{6})$

ステップ 11.2.2.5

$7$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{6}{7}) = (49 (\frac{36}{49}) + 36) (- \frac{7}{6})$

ステップ 11.2.2.6

$49$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.6.1

共通因数を約分します。

$f (- \frac{6}{7}) = (49 (\frac{36}{49}) + 36) (- \frac{7}{6})$

ステップ 11.2.2.6.2

式を書き換えます。

$f (- \frac{6}{7}) = (36 + 36) (- \frac{7}{6})$

ステップ 11.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.1

$36$ と $36$ をたし算します。

$f (- \frac{6}{7}) = 72 (- \frac{7}{6})$

ステップ 11.2.3.2

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.2.1

$- \frac{7}{6}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (- \frac{6}{7}) = 72 (\frac{- 7}{6})$

ステップ 11.2.3.2.2

$6$ を $72$ で因数分解します。

$f (- \frac{6}{7}) = 6 (12) (\frac{- 7}{6})$

ステップ 11.2.3.2.3

共通因数を約分します。

$f (- \frac{6}{7}) = 6 \cdot (12 (\frac{- 7}{6}))$

ステップ 11.2.3.2.4

式を書き換えます。

$f (- \frac{6}{7}) = 12 \cdot - 7$

ステップ 11.2.3.3

$12$ に $- 7$ をかけます。

$f (- \frac{6}{7}) = - 84$

ステップ 11.2.4

最終的な答えは $- 84$ です。

$y = - 84$

ステップ 12

$x = \frac{6}{7}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{72}{{(\frac{6}{7})}^{3}}$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

積の法則を $\frac{6}{7}$ に当てはめます。

$\frac{72}{\frac{6^{3}}{7^{3}}}$

ステップ 13.1.2

$6$ を $3$ 乗します。

$\frac{72}{\frac{216}{7^{3}}}$

ステップ 13.1.3

$7$ を $3$ 乗します。

$\frac{72}{\frac{216}{343}}$

ステップ 13.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$72 (\frac{343}{216})$

ステップ 13.3

$72$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.1

$72$ を $216$ で因数分解します。

$72 \frac{343}{72 (3)}$

ステップ 13.3.2

共通因数を約分します。

$72 \frac{343}{72 \cdot 3}$

ステップ 13.3.3

式を書き換えます。

$\frac{343}{3}$

ステップ 14

$x = \frac{6}{7}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{6}{7}$ は極小値です

ステップ 15

$x = \frac{6}{7}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $\frac{6}{7}$ で置換えます。

$f (\frac{6}{7}) = \frac{49 {(\frac{6}{7})}^{2} + 36}{\frac{6}{7}}$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{6}{7}) = (49 {(\frac{6}{7})}^{2} + 36) (\frac{7}{6})$

ステップ 15.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

積の法則を $\frac{6}{7}$ に当てはめます。

$f (\frac{6}{7}) = (49 (\frac{6^{2}}{7^{2}}) + 36) (\frac{7}{6})$

ステップ 15.2.2.2

$6$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{6}{7}) = (49 (\frac{36}{7^{2}}) + 36) (\frac{7}{6})$

ステップ 15.2.2.3

$7$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{6}{7}) = (49 (\frac{36}{49}) + 36) (\frac{7}{6})$

ステップ 15.2.2.4

$49$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{6}{7}) = (49 (\frac{36}{49}) + 36) (\frac{7}{6})$

ステップ 15.2.2.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{6}{7}) = (36 + 36) (\frac{7}{6})$

ステップ 15.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.3.1

$36$ と $36$ をたし算します。

$f (\frac{6}{7}) = 72 (\frac{7}{6})$

ステップ 15.2.3.2

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.3.2.1

$6$ を $72$ で因数分解します。

$f (\frac{6}{7}) = 6 (12) (\frac{7}{6})$

ステップ 15.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{6}{7}) = 6 \cdot (12 (\frac{7}{6}))$

ステップ 15.2.3.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{6}{7}) = 12 \cdot 7$

ステップ 15.2.3.3

$12$ に $7$ をかけます。

$f (\frac{6}{7}) = 84$

ステップ 15.2.4

最終的な答えは $84$ です。

$y = 84$

ステップ 16

$f (x) = \frac{49 x^{2} + 36}{x}$ の極値です。

$(- \frac{6}{7}, - 84)$ は極大値です

$(\frac{6}{7}, 84)$ は極小値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例