微分積分例

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x}$

ステップ 1

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x}$ を関数で書きます。

$f (x) = (x^{2} - 11 x + 32) e^{x}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$f (x) = x^{2} - 11 x + 32$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x^{2} - 11 x + 32) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 11 x + 32]$

ステップ 2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 11 x + 32]$

ステップ 2.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

総和則では、 $x^{2} - 11 x + 32$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [32]$ です。

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [32])$

ステップ 2.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [32])$

ステップ 2.1.3.3

$- 11$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 11 x$ の微分係数は $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} (2 x - 11 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [32])$

ステップ 2.1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} (2 x - 11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [32])$

ステップ 2.1.3.5

$- 11$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} (2 x - 11 + \frac{d}{d x} [32])$

ステップ 2.1.3.6

$32$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $32$ の微分係数は $0$ です。

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} (2 x - 11 + 0)$

ステップ 2.1.3.7

$2 x - 11$ と $0$ をたし算します。

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} (2 x - 11)$

ステップ 2.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} + 32 e^{x} + e^{x} (2 x - 11)$

ステップ 2.1.4.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} + 32 e^{x} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 11$

ステップ 2.1.4.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.3.1

$- 11$ を $e^{x}$ の左に移動させます。

$x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} + 32 e^{x} + e^{x} (2 x) - 11 \cdot e^{x}$

ステップ 2.1.4.3.2

$- 11 x e^{x}$ と $e^{x} (2 x)$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.3.2.1

$e^{x}$ を移動させます。

$x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} + 2 x e^{x} + 32 e^{x} - 11 e^{x}$

ステップ 2.1.4.3.2.2

$- 11 x e^{x}$ と $2 x e^{x}$ をたし算します。

$x^{2} e^{x} - 9 x e^{x} + 32 e^{x} - 11 e^{x}$

ステップ 2.1.4.3.3

$32 e^{x}$ から $11 e^{x}$ を引きます。

$x^{2} e^{x} - 9 x e^{x} + 21 e^{x}$

ステップ 2.1.4.4

項を並べ替えます。

$e^{x} x^{2} - 9 e^{x} x + 21 e^{x}$

ステップ 2.1.4.5

$e^{x} x^{2} - 9 e^{x} x + 21 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = x^{2} e^{x} - 9 x e^{x} + 21 e^{x}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $x^{2} e^{x} - 9 x e^{x} + 21 e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 9 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 9 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

ステップ 2.2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

ステップ 2.2.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [- 9 x e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x e^{x}$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ です。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

ステップ 2.2.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

ステップ 2.2.3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

ステップ 2.2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

ステップ 2.2.3.5

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

ステップ 2.2.4

$\frac{d}{d x} [21 e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$21$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $21 e^{x}$ の微分係数は $21 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 (x e^{x} + e^{x}) + 21 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.2.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 (x e^{x} + e^{x}) + 21 e^{x}$

ステップ 2.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 (x e^{x}) - 9 e^{x} + 21 e^{x}$

ステップ 2.2.5.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.1

$e^{x} (2 x)$ から $9 x e^{x}$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.1.1

$e^{x}$ を移動させます。

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 9 x e^{x} - 9 e^{x} + 21 e^{x}$

ステップ 2.2.5.2.1.2

$2 x e^{x}$ から $9 x e^{x}$ を引きます。

$x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} - 9 e^{x} + 21 e^{x}$

ステップ 2.2.5.2.2

$- 9 e^{x}$ と $21 e^{x}$ をたし算します。

$x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} + 12 e^{x}$

ステップ 2.2.5.3

項を並べ替えます。

$e^{x} x^{2} - 7 e^{x} x + 12 e^{x}$

ステップ 2.2.5.4

$e^{x} x^{2} - 7 e^{x} x + 12 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} + 12 e^{x}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} + 12 e^{x}$ です。

$x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} + 12 e^{x}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} + 12 e^{x} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} + 12 e^{x} = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$e^{x}$ を $x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} + 12 e^{x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$e^{x}$ を $x^{2} e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} x^{2} - 7 x e^{x} + 12 e^{x} = 0$

ステップ 3.2.1.2

$e^{x}$ を $- 7 x e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} x^{2} + e^{x} (- 7 x) + 12 e^{x} = 0$

ステップ 3.2.1.3

$e^{x}$ を $12 e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} x^{2} + e^{x} (- 7 x) + e^{x} \cdot 12 = 0$

ステップ 3.2.1.4

$e^{x}$ を $e^{x} x^{2} + e^{x} (- 7 x)$ で因数分解します。

$e^{x} (x^{2} - 7 x) + e^{x} \cdot 12 = 0$

ステップ 3.2.1.5

$e^{x}$ を $e^{x} (x^{2} - 7 x) + e^{x} \cdot 12$ で因数分解します。

$e^{x} (x^{2} - 7 x + 12) = 0$

ステップ 3.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 7 x + 12$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $12$ で、その和が $- 7$ です。

$- 4, - 3$

ステップ 3.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$e^{x} ((x - 4) (x - 3)) = 0$

ステップ 3.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$e^{x} (x - 4) (x - 3) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{x} = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 3.4

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 3.4.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 3.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 3.4.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 3.5

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 3.6

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 3.6.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 3.7

最終解は $e^{x} (x - 4) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, 3$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$4$ を $f (x) = (x^{2} - 11 x + 32) e^{x}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f (4) = ({(4)}^{2} - 11 \cdot 4 + 32) \cdot e^{4}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f (4) = (16 - 11 \cdot 4 + 32) \cdot e^{4}$

ステップ 4.1.2.1.2

$- 11$ に $4$ をかけます。

$f (4) = (16 - 44 + 32) \cdot e^{4}$

ステップ 4.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$16$ から $44$ を引きます。

$f (4) = (- 28 + 32) \cdot e^{4}$

ステップ 4.1.2.2.2

$- 28$ と $32$ をたし算します。

$f (4) = 4 e^{4}$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $4 e^{4}$ です。

$4 e^{4}$

ステップ 4.2

$f (x) = (x^{2} - 11 x + 32) e^{x}$ で代入して $4$ 求めた点は、 $(4, 4 e^{4})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(4, 4 e^{4})$

ステップ 4.3

$3$ を $f (x) = (x^{2} - 11 x + 32) e^{x}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = ({(3)}^{2} - 11 \cdot 3 + 32) \cdot e^{3}$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$f (3) = (9 - 11 \cdot 3 + 32) \cdot e^{3}$

ステップ 4.3.2.1.2

$- 11$ に $3$ をかけます。

$f (3) = (9 - 33 + 32) \cdot e^{3}$

ステップ 4.3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$9$ から $33$ を引きます。

$f (3) = (- 24 + 32) \cdot e^{3}$

ステップ 4.3.2.2.2

$- 24$ と $32$ をたし算します。

$f (3) = 8 e^{3}$

ステップ 4.3.2.3

最終的な答えは $8 e^{3}$ です。

$8 e^{3}$

ステップ 4.4

$f (x) = (x^{2} - 11 x + 32) e^{x}$ で代入して $3$ 求めた点は、 $(3, 8 e^{3})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(3, 8 e^{3})$

ステップ 4.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(4, 4 e^{4}), (3, 8 e^{3})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, 3) \cup (3, 4) \cup (4, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, 3)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $2.9$ で置換えます。

$f'' (2.9) = {(2.9)}^{2} e^{2.9} - 7 \cdot 2.9 \cdot e^{2.9} + 12 e^{2.9}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$2.9$ を $2$ 乗します。

$f'' (2.9) = 8.41 e^{2.9} - 7 \cdot 2.9 \cdot e^{2.9} + 12 e^{2.9}$

ステップ 6.2.1.2

$8.41$ に $e^{2.9}$ をかけます。

$f'' (2.9) = 152.84456255 - 7 \cdot 2.9 \cdot e^{2.9} + 12 e^{2.9}$

ステップ 6.2.1.3

$- 7$ に $2.9$ をかけます。

$f'' (2.9) = 152.84456255 - 20.3 \cdot e^{2.9} + 12 e^{2.9}$

ステップ 6.2.1.4

$- 20.3$ に $e^{2.9}$ をかけます。

$f'' (2.9) = 152.84456255 - 368.93515099 + 12 e^{2.9}$

ステップ 6.2.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$152.84456255$ から $368.93515099$ を引きます。

$f'' (2.9) = - 216.09058844 + 12 e^{2.9}$

ステップ 6.2.2.2

$- 216.09058844$ と $12 e^{2.9}$ をたし算します。

$f'' (2.9) = 1.99915599$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $1.99915599$ です。

$1.99915599$

ステップ 6.3

$2.9$ で二次導関数は $1.99915599$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, 3)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, 3)$ で増加

ステップ 7

区間 $(3, 4)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $\frac{7}{2}$ で置換えます。

$f'' (\frac{7}{2}) = {(\frac{7}{2})}^{2} e^{\frac{7}{2}} - 7 (\frac{7}{2}) \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

積の法則を $\frac{7}{2}$ に当てはめます。

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{7^{2}}{2^{2}} \cdot e^{\frac{7}{2}} - 7 (\frac{7}{2}) \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

ステップ 7.2.1.2

$7$ を $2$ 乗します。

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49}{2^{2}} \cdot e^{\frac{7}{2}} - 7 (\frac{7}{2}) \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

ステップ 7.2.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49}{4} \cdot e^{\frac{7}{2}} - 7 (\frac{7}{2}) \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

ステップ 7.2.1.4

$\frac{49}{4}$ と $e^{\frac{7}{2}}$ をまとめます。

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} - 7 (\frac{7}{2}) \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

ステップ 7.2.1.5

$- 7 (\frac{7}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.5.1

$- 7$ と $\frac{7}{2}$ をまとめます。

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- 7 \cdot 7}{2} \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

ステップ 7.2.1.5.2

$- 7$ に $7$ をかけます。

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- 49}{2} \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

ステップ 7.2.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} - \frac{49}{2} \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

ステップ 7.2.1.7

$e^{\frac{7}{2}}$ と $\frac{49}{2}$ をまとめます。

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} - \frac{e^{\frac{7}{2}} \cdot 49}{2} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

ステップ 7.2.1.8

$49$ を $e^{\frac{7}{2}}$ の左に移動させます。

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} - \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{2} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

ステップ 7.2.2

$- \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} - \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{2} \cdot \frac{2}{2} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

ステップ 7.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$\frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} - \frac{49 e^{\frac{7}{2}} \cdot 2}{2 \cdot 2} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

ステップ 7.2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} - \frac{49 e^{\frac{7}{2}} \cdot 2}{4} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

ステップ 7.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}} - 49 e^{\frac{7}{2}} \cdot 2}{4} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

ステップ 7.2.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.5.1.1

$2$ に $- 49$ をかけます。

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}} - 98 e^{\frac{7}{2}}}{4} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

ステップ 7.2.5.1.2

$49 e^{\frac{7}{2}}$ から $98 e^{\frac{7}{2}}$ を引きます。

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{- 49 e^{\frac{7}{2}}}{4} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

ステップ 7.2.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (\frac{7}{2}) = - \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

ステップ 7.2.6

$12 e^{\frac{7}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f'' (\frac{7}{2}) = - \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} + 12 e^{\frac{7}{2}} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 7.2.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.7.1

$12 e^{\frac{7}{2}}$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$f'' (\frac{7}{2}) = - \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{12 e^{\frac{7}{2}} \cdot 4}{4}$

ステップ 7.2.7.2

公分母の分子をまとめます。

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{- 49 e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}} \cdot 4}{4}$

ステップ 7.2.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.8.1

$4$ に $12$ をかけます。

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{- 49 e^{\frac{7}{2}} + 48 e^{\frac{7}{2}}}{4}$

ステップ 7.2.8.2

$- 49 e^{\frac{7}{2}}$ と $48 e^{\frac{7}{2}}$ をたし算します。

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{- e^{\frac{7}{2}}}{4}$

ステップ 7.2.9

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (\frac{7}{2}) = - \frac{e^{\frac{7}{2}}}{4}$

ステップ 7.2.10

最終的な答えは $- \frac{e^{\frac{7}{2}}}{4}$ です。

$- \frac{e^{\frac{7}{2}}}{4}$

ステップ 7.3

$\frac{7}{2}$ で二次導関数は $- 8.27886298$ です。これは負の値なので、 $(3, 4)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(3, 4)$ で減少

ステップ 8

区間 $(4, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $4.1$ で置換えます。

$f'' (4.1) = {(4.1)}^{2} e^{4.1} - 7 \cdot 4.1 \cdot e^{4.1} + 12 e^{4.1}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$4.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (4.1) = 16.81 e^{4.1} - 7 \cdot 4.1 \cdot e^{4.1} + 12 e^{4.1}$

ステップ 8.2.1.2

$16.81$ に $e^{4.1}$ をかけます。

$f'' (4.1) = 1014.32023451 - 7 \cdot 4.1 \cdot e^{4.1} + 12 e^{4.1}$

ステップ 8.2.1.3

$- 7$ に $4.1$ をかけます。

$f'' (4.1) = 1014.32023451 - 28.7 \cdot e^{4.1} + 12 e^{4.1}$

ステップ 8.2.1.4

$- 28.7$ に $e^{4.1}$ をかけます。

$f'' (4.1) = 1014.32023451 - 1731.76625404 + 12 e^{4.1}$

ステップ 8.2.2

項を加えて簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$1014.32023451$ から $1731.76625404$ を引きます。

$f'' (4.1) = - 717.44601953 + 12 e^{4.1}$

ステップ 8.2.2.2

$- 717.44601953$ と $12 e^{4.1}$ をたし算します。

$f'' (4.1) = 6.63743163$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $6.63743163$ です。

$6.63743163$

ステップ 8.3

$4.1$ で二次導関数は $6.63743163$ です。これは正の値なので、 $(4, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(4, \infty)$ で増加

ステップ 9

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(3, 8 e^{3}), (4, 4 e^{4})$ です。

$(3, 8 e^{3}), (4, 4 e^{4})$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例