微分積分例

$x^{2} (x - 3) (x - 6)$

ステップ 1

$x^{2} (x - 3) (x - 6)$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{2} (x - 3) (x - 6)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$f (x) = x^{2} (x - 3)$ および $g (x) = x - 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} (x - 3) \frac{d}{d x} [x - 6] + (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} (x - 3)]$

ステップ 2.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $x - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$x^{2} (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} (x - 3)]$

ステップ 2.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} (x - 3)]$

ステップ 2.1.2.3

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$x^{2} (x - 3) (1 + 0) + (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} (x - 3)]$

ステップ 2.1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} (x - 3) \cdot 1 + (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} (x - 3)]$

ステップ 2.1.2.4.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} (x - 3) + (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} (x - 3)]$

ステップ 2.1.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} (x - 3) + (x - 6) (x^{2} \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.1.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$x^{2} (x - 3) + (x - 6) (x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (x - 3) + (x - 6) (x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.1.4.3

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$x^{2} (x - 3) + (x - 6) (x^{2} (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.1.4.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} (x - 3) + (x - 6) (x^{2} \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.1.4.4.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} (x - 3) + (x - 6) (x^{2} + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.1.4.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (x - 3) + (x - 6) (x^{2} + (x - 3) (2 x))$

ステップ 2.1.4.6

$2$ を $x - 3$ の左に移動させます。

$x^{2} (x - 3) + (x - 6) (x^{2} + 2 \cdot (x - 3) x)$

ステップ 2.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 3 + (x - 6) (x^{2} + 2 (x - 3) x)$

ステップ 2.1.5.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 3 + (x - 6) (x^{2} + (2 x + 2 \cdot - 3) x)$

ステップ 2.1.5.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 3 + (x - 6) (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x)$

ステップ 2.1.5.4

分配則を当てはめます。

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 3 + (x - 6) x^{2} + (x - 6) (2 x \cdot x) + (x - 6) (2 \cdot - 3 x)$

ステップ 2.1.5.5

分配則を当てはめます。

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 3 + x \cdot x^{2} - 6 x^{2} + (x - 6) (2 x \cdot x) + (x - 6) (2 \cdot - 3 x)$

ステップ 2.1.5.6

分配則を当てはめます。

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 3 + x \cdot x^{2} - 6 x^{2} + x (2 x \cdot x) - 6 (2 x \cdot x) + (x - 6) (2 \cdot - 3 x)$

ステップ 2.1.5.7

分配則を当てはめます。

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 3 + x \cdot x^{2} - 6 x^{2} + x (2 x \cdot x) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

ステップ 2.1.5.8

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.8.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.8.1.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.8.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 3 + x \cdot x^{2} - 6 x^{2} + x (2 x \cdot x) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

ステップ 2.1.5.8.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 3 + x \cdot x^{2} - 6 x^{2} + x (2 x \cdot x) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

ステップ 2.1.5.8.1.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$x^{3} + x^{2} \cdot - 3 + x \cdot x^{2} - 6 x^{2} + x (2 x \cdot x) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

ステップ 2.1.5.8.2

$- 3$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$x^{3} - 3 \cdot x^{2} + x \cdot x^{2} - 6 x^{2} + x (2 x \cdot x) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

ステップ 2.1.5.8.3

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.8.3.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.8.3.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{1} x^{2} - 6 x^{2} + x (2 x \cdot x) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

ステップ 2.1.5.8.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{1 + 2} - 6 x^{2} + x (2 x \cdot x) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

ステップ 2.1.5.8.3.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + x (2 x \cdot x) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

ステップ 2.1.5.8.4

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + x (2 (x^{1} x)) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

ステップ 2.1.5.8.5

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + x (2 (x^{1} x^{1})) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

ステップ 2.1.5.8.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + x (2 x^{1 + 1}) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

ステップ 2.1.5.8.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + x (2 x^{2}) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

ステップ 2.1.5.8.8

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 (x^{1} x^{2}) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

ステップ 2.1.5.8.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{1 + 2} - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

ステップ 2.1.5.8.10

$1$ と $2$ をたし算します。

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

ステップ 2.1.5.8.11

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 6 (2 (x^{1} x)) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

ステップ 2.1.5.8.12

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 6 (2 (x^{1} x^{1})) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

ステップ 2.1.5.8.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 6 (2 x^{1 + 1}) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

ステップ 2.1.5.8.14

$1$ と $1$ をたし算します。

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 6 (2 x^{2}) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

ステップ 2.1.5.8.15

$2$ に $- 6$ をかけます。

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 12 x^{2} + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

ステップ 2.1.5.8.16

$2$ に $- 3$ をかけます。

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 12 x^{2} + x (- 6 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

ステップ 2.1.5.8.17

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 6 (x^{1} x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

ステップ 2.1.5.8.18

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 6 (x^{1} x^{1}) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

ステップ 2.1.5.8.19

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 6 x^{1 + 1} - 6 (2 \cdot - 3 x)$

ステップ 2.1.5.8.20

$1$ と $1$ をたし算します。

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 6 x^{2} - 6 (2 \cdot - 3 x)$

ステップ 2.1.5.8.21

$2$ に $- 3$ をかけます。

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 6 x^{2} - 6 (- 6 x)$

ステップ 2.1.5.8.22

$- 6$ に $- 6$ をかけます。

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 6 x^{2} + 36 x$

ステップ 2.1.5.8.23

$- 12 x^{2}$ から $6 x^{2}$ を引きます。

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 18 x^{2} + 36 x$

ステップ 2.1.5.8.24

$x^{3}$ と $2 x^{3}$ をたし算します。

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{3} - 6 x^{2} - 18 x^{2} + 36 x$

ステップ 2.1.5.8.25

$- 6 x^{2}$ から $18 x^{2}$ を引きます。

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x$

ステップ 2.1.5.8.26

$x^{3}$ と $3 x^{3}$ をたし算します。

$4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x^{2} + 36 x$

ステップ 2.1.5.8.27

$- 3 x^{2}$ から $24 x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 27 x^{2} + 36 x$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $4 x^{3} - 27 x^{2} + 36 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

ステップ 2.2.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$- 27$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 27 x^{2}$ の微分係数は $- 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$12 x^{2} - 27 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

ステップ 2.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{2} - 27 (2 x) + \frac{d}{d x} [36 x]$

ステップ 2.2.3.3

$2$ に $- 27$ をかけます。

$12 x^{2} - 54 x + \frac{d}{d x} [36 x]$

ステップ 2.2.4

$\frac{d}{d x} [36 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $36 x$ の微分係数は $36 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 x^{2} - 54 x + 36 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{2} - 54 x + 36 \cdot 1$

ステップ 2.2.4.3

$36$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 54 x + 36$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $12 x^{2} - 54 x + 36$ です。

$12 x^{2} - 54 x + 36$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{2} - 54 x + 36 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{2} - 54 x + 36 = 0$

ステップ 3.2

$6$ を $12 x^{2} - 54 x + 36$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$6$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$6 (2 x^{2}) - 54 x + 36 = 0$

ステップ 3.2.2

$6$ を $- 54 x$ で因数分解します。

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 9 x) + 36 = 0$

ステップ 3.2.3

$6$ を $36$ で因数分解します。

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 9 x) + 6 (6) = 0$

ステップ 3.2.4

$6$ を $6 (2 x^{2}) + 6 (- 9 x)$ で因数分解します。

$6 (2 x^{2} - 9 x) + 6 (6) = 0$

ステップ 3.2.5

$6$ を $6 (2 x^{2} - 9 x) + 6 (6)$ で因数分解します。

$6 (2 x^{2} - 9 x + 6) = 0$

ステップ 3.3

$6 (2 x^{2} - 9 x + 6) = 0$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$6 (2 x^{2} - 9 x + 6) = 0$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 (2 x^{2} - 9 x + 6)}{6} = \frac{0}{6}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 (2 x^{2} - 9 x + 6)}{6} = \frac{0}{6}$

ステップ 3.3.2.1.2

$2 x^{2} - 9 x + 6$ を $1$ で割ります。

$2 x^{2} - 9 x + 6 = \frac{0}{6}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$0$ を $6$ で割ります。

$2 x^{2} - 9 x + 6 = 0$

ステップ 3.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.5

$a = 2$ 、 $b = - 9$ 、および $c = 6$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 6)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.1

$- 9$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.6.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 6$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 8 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.6.1.2.2

$- 8$ に $6$ をかけます。

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 48}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.6.1.3

$81$ から $48$ を引きます。

$x = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{4}$

ステップ 3.7

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.1

$- 9$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.7.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 6$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 8 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.7.1.2.2

$- 8$ に $6$ をかけます。

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 48}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.7.1.3

$81$ から $48$ を引きます。

$x = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.7.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{4}$

ステップ 3.7.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{9 + \sqrt{33}}{4}$

ステップ 3.8

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1.1

$- 9$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.8.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 6$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 8 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.8.1.2.2

$- 8$ に $6$ をかけます。

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 48}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.8.1.3

$81$ から $48$ を引きます。

$x = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.8.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{4}$

ステップ 3.8.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{9 - \sqrt{33}}{4}$

ステップ 3.9

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{9 + \sqrt{33}}{4}, \frac{9 - \sqrt{33}}{4}$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$3.68614066$ を $f (x) = x^{2} (x - 3) (x - 6)$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $3.68614066$ で置換えます。

$f (3.68614066) = {(3.68614066)}^{2} ((3.68614066) - 3) ((3.68614066) - 6)$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$3.68614066$ を $2$ 乗します。

$f (3.68614066) = 13.58763297 ((3.68614066) - 3) ((3.68614066) - 6)$

ステップ 4.1.2.2

$3.68614066$ から $3$ を引きます。

$f (3.68614066) = 13.58763297 \cdot (0.68614066 ((3.68614066) - 6))$

ステップ 4.1.2.3

$13.58763297$ に $0.68614066$ をかけます。

$f (3.68614066) = 9.32302748 ((3.68614066) - 6)$

ステップ 4.1.2.4

$3.68614066$ から $6$ を引きます。

$f (3.68614066) = 9.32302748 \cdot - 2.31385933$

ステップ 4.1.2.5

$9.32302748$ に $- 2.31385933$ をかけます。

$f (3.68614066) = - 21.57217419$

ステップ 4.1.2.6

最終的な答えは $- 21.57217419$ です。

$- 21.57217419$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{2} (x - 3) (x - 6)$ で代入して $3.68614066$ 求めた点は、 $(3.68614066, - 21.57217419)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(3.68614066, - 21.57217419)$

ステップ 4.3

$0.81385933$ を $f (x) = x^{2} (x - 3) (x - 6)$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $0.81385933$ で置換えます。

$f (0.81385933) = {(0.81385933)}^{2} ((0.81385933) - 3) ((0.81385933) - 6)$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$0.81385933$ を $2$ 乗します。

$f (0.81385933) = 0.66236702 ((0.81385933) - 3) ((0.81385933) - 6)$

ステップ 4.3.2.2

$0.81385933$ から $3$ を引きます。

$f (0.81385933) = 0.66236702 \cdot (- 2.18614066 ((0.81385933) - 6))$

ステップ 4.3.2.3

$0.66236702$ に $- 2.18614066$ をかけます。

$f (0.81385933) = - 1.44802748 ((0.81385933) - 6)$

ステップ 4.3.2.4

$0.81385933$ から $6$ を引きます。

$f (0.81385933) = - 1.44802748 \cdot - 5.18614066$

ステップ 4.3.2.5

$- 1.44802748$ に $- 5.18614066$ をかけます。

$f (0.81385933) = 7.50967419$

ステップ 4.3.2.6

最終的な答えは $7.50967419$ です。

$7.50967419$

ステップ 4.4

$f (x) = x^{2} (x - 3) (x - 6)$ で代入して $0.81385933$ 求めた点は、 $(0.81385933, 7.50967419)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0.81385933, 7.50967419)$

ステップ 4.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(3.68614066, - 21.57217419), (0.81385933, 7.50967419)$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, 0.81385933) \cup (0.81385933, 3.68614066) \cup (3.68614066, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, 0.81385933)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0.71385933$ で置換えます。

$f'' (0.71385933) = 12 {(0.71385933)}^{2} - 54 \cdot 0.71385933 + 36$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$0.71385933$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.71385933) = 12 \cdot 0.50959515 - 54 \cdot 0.71385933 + 36$

ステップ 6.2.1.2

$12$ に $0.50959515$ をかけます。

$f'' (0.71385933) = 6.11514185 - 54 \cdot 0.71385933 + 36$

ステップ 6.2.1.3

$- 54$ に $0.71385933$ をかけます。

$f'' (0.71385933) = 6.11514185 - 38.54840427 + 36$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$6.11514185$ から $38.54840427$ を引きます。

$f'' (0.71385933) = - 32.43326241 + 36$

ステップ 6.2.2.2

$- 32.43326241$ と $36$ をたし算します。

$f'' (0.71385933) = 3.56673758$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $3.56673758$ です。

$3.56673758$

ステップ 6.3

$0.71385933$ で二次導関数は $3.56673758$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, 0.81385933)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, 0.81385933)$ で増加

ステップ 7

区間 $(0.81385933, 3.68614066)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $2.25$ で置換えます。

$f'' (2.25) = 12 {(2.25)}^{2} - 54 \cdot 2.25 + 36$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$2.25$ を $2$ 乗します。

$f'' (2.25) = 12 \cdot 5.0625 - 54 \cdot 2.25 + 36$

ステップ 7.2.1.2

$12$ に $5.0625$ をかけます。

$f'' (2.25) = 60.75 - 54 \cdot 2.25 + 36$

ステップ 7.2.1.3

$- 54$ に $2.25$ をかけます。

$f'' (2.25) = 60.75 - 121.5 + 36$

ステップ 7.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$60.75$ から $121.5$ を引きます。

$f'' (2.25) = - 60.75 + 36$

ステップ 7.2.2.2

$- 60.75$ と $36$ をたし算します。

$f'' (2.25) = - 24.75$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 24.75$ です。

$- 24.75$

ステップ 7.3

$2.25$ で二次導関数は $- 24.74\overline{9}$ です。これは負の値なので、 $(0.81385933, 3.68614066)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(0.81385933, 3.68614066)$ で減少

ステップ 8

区間 $(3.68614066, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $3.78614066$ で置換えます。

$f'' (3.78614066) = 12 {(3.78614066)}^{2} - 54 \cdot 3.78614066 + 36$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$3.78614066$ を $2$ 乗します。

$f'' (3.78614066) = 12 \cdot 14.3348611 - 54 \cdot 3.78614066 + 36$

ステップ 8.2.1.2

$12$ に $14.3348611$ をかけます。

$f'' (3.78614066) = 172.01833331 - 54 \cdot 3.78614066 + 36$

ステップ 8.2.1.3

$- 54$ に $3.78614066$ をかけます。

$f'' (3.78614066) = 172.01833331 - 204.45159572 + 36$

ステップ 8.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$172.01833331$ から $204.45159572$ を引きます。

$f'' (3.78614066) = - 32.43326241 + 36$

ステップ 8.2.2.2

$- 32.43326241$ と $36$ をたし算します。

$f'' (3.78614066) = 3.56673758$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $3.56673758$ です。

$3.56673758$

ステップ 8.3

$3.78614066$ で二次導関数は $3.56673758$ です。これは正の値なので、 $(3.68614066, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(3.68614066, \infty)$ で増加

ステップ 9

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(0.81385933, 7.50967419), (3.68614066, - 21.57217419)$ です。

$(0.81385933, 7.50967419), (3.68614066, - 21.57217419)$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例