微分積分例

$\frac{x + 3}{x^{2}}$

ステップ 1

$\frac{x + 3}{x^{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x + 3}{x^{2}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$f (x) = x + 3$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.2

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.4

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} - (x + 3) (2 x)}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.7

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.7.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 2 (x + 3) x}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.7.2

$x$ を $x^{2} - 2 (x + 3) x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.7.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x - 2 (x + 3) x}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.7.2.2

$x$ を $- 2 (x + 3) x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x + x (- 2 (x + 3))}{x^{4}}$

ステップ 2.1.2.7.2.3

$x$ を $x \cdot x + x (- 2 (x + 3))$ で因数分解します。

$\frac{x (x - 2 (x + 3))}{x^{4}}$

ステップ 2.1.3

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x (x - 2 (x + 3))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 2.1.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{x (x - 2 (x + 3))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 2.1.3.3

式を書き換えます。

$\frac{x - 2 (x + 3)}{x^{3}}$

ステップ 2.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x - 2 x - 2 \cdot 3}{x^{3}}$

ステップ 2.1.4.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.2.1

$- 2$ に $3$ をかけます。

$\frac{x - 2 x - 6}{x^{3}}$

ステップ 2.1.4.2.2

$x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{- x - 6}{x^{3}}$

ステップ 2.1.4.3

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{- (x) - 6}{x^{3}}$

ステップ 2.1.4.4

$- 6$ を $- 1 (6)$ に書き換えます。

$\frac{- (x) - 1 (6)}{x^{3}}$

ステップ 2.1.4.5

$- 1$ を $- (x) - 1 (6)$ で因数分解します。

$\frac{- (x + 6)}{x^{3}}$

ステップ 2.1.4.6

$- (x + 6)$ を $- 1 (x + 6)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x + 6)}{x^{3}}$

ステップ 2.1.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{x + 6}{x^{3}}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{x + 6}{x^{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- \frac{d}{d x} [\frac{x + 6}{x^{3}}] + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x + 6$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

${(x^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.3.1.2

$3$ に $2$ をかけます。

$- \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.3.2

総和則では、 $x + 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ です。

$- \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{x^{3} (1 + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.3.4

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{x^{3} (1 + 0) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{x^{3} \cdot 1 - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.3.5.2

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x^{3} - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.3.6

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{x^{3} - (x + 6) (3 x^{2})}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.3.7

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.7.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{x^{3} - 3 (x + 6) x^{2}}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.3.7.2

$x^{2}$ を $x^{3} - 3 (x + 6) x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.7.2.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$- \frac{x^{2} x - 3 (x + 6) x^{2}}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.3.7.2.2

$x^{2}$ を $- 3 (x + 6) x^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{x^{2} x + x^{2} (- 3 (x + 6))}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.3.7.2.3

$x^{2}$ を $x^{2} x + x^{2} (- 3 (x + 6))$ で因数分解します。

$- \frac{x^{2} (x - 3 (x + 6))}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$x^{2}$ を $x^{6}$ で因数分解します。

$- \frac{x^{2} (x - 3 (x + 6))}{x^{2} x^{4}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.4.2

共通因数を約分します。

$- \frac{x^{2} (x - 3 (x + 6))}{x^{2} x^{4}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.4.3

式を書き換えます。

$- \frac{x - 3 (x + 6)}{x^{4}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{x - 3 (x + 6)}{x^{4}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \cdot 0$

ステップ 2.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

$\frac{x + 6}{x^{3}}$ に $0$ をかけます。

$- \frac{x - 3 (x + 6)}{x^{4}} + 0$

ステップ 2.2.6.2

$- \frac{x - 3 (x + 6)}{x^{4}}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{x - 3 (x + 6)}{x^{4}}$

ステップ 2.2.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.7.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{x - 3 x - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

ステップ 2.2.7.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.7.2.1

$- 3$ に $6$ をかけます。

$- \frac{x - 3 x - 18}{x^{4}}$

ステップ 2.2.7.2.2

$x$ から $3 x$ を引きます。

$- \frac{- 2 x - 18}{x^{4}}$

ステップ 2.2.7.3

$2$ を $- 2 x - 18$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.7.3.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$- \frac{2 (- x) - 18}{x^{4}}$

ステップ 2.2.7.3.2

$2$ を $- 18$ で因数分解します。

$- \frac{2 (- x) + 2 (- 9)}{x^{4}}$

ステップ 2.2.7.3.3

$2$ を $2 (- x) + 2 (- 9)$ で因数分解します。

$- \frac{2 (- x - 9)}{x^{4}}$

ステップ 2.2.7.4

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$- \frac{2 (- (x) - 9)}{x^{4}}$

ステップ 2.2.7.5

$- 9$ を $- 1 (9)$ に書き換えます。

$- \frac{2 (- (x) - 1 (9))}{x^{4}}$

ステップ 2.2.7.6

$- 1$ を $- (x) - 1 (9)$ で因数分解します。

$- \frac{2 (- (x + 9))}{x^{4}}$

ステップ 2.2.7.7

$- (x + 9)$ を $- 1 (x + 9)$ に書き換えます。

$- \frac{2 (- 1 (x + 9))}{x^{4}}$

ステップ 2.2.7.8

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$

ステップ 2.2.7.9

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$

ステップ 2.2.7.10

$\frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$ です。

$\frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2 (x + 9)}{x^{4}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2 (x + 9)}{x^{4}} = 0$

ステップ 3.2

分子を0に等しくします。

$2 (x + 9) = 0$

ステップ 3.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$2 (x + 9) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

$2 (x + 9) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 (x + 9)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 3.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (x + 9)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 3.3.1.2.1.2

$x + 9$ を $1$ で割ります。

$x + 9 = \frac{0}{2}$

ステップ 3.3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x + 9 = 0$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$x = - 9$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 9$ を $f (x) = \frac{x + 3}{x^{2}}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $- 9$ で置換えます。

$f (- 9) = \frac{(- 9) + 3}{{(- 9)}^{2}}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$- 9$ と $3$ をたし算します。

$f (- 9) = \frac{- 6}{{(- 9)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.1.2

$- 9$ を $2$ 乗します。

$f (- 9) = \frac{- 6}{81}$

ステップ 4.1.2.2

$- 6$ と $81$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$3$ を $- 6$ で因数分解します。

$f (- 9) = \frac{3 (- 2)}{81}$

ステップ 4.1.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.2.1

$3$ を $81$ で因数分解します。

$f (- 9) = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 27}$

ステップ 4.1.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$f (- 9) = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 27}$

ステップ 4.1.2.2.2.3

式を書き換えます。

$f (- 9) = \frac{- 2}{27}$

ステップ 4.1.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f (- 9) = - \frac{2}{27}$

ステップ 4.1.2.4

最終的な答えは $- \frac{2}{27}$ です。

$- \frac{2}{27}$

ステップ 4.2

$f (x) = \frac{x + 3}{x^{2}}$ で代入して $- 9$ 求めた点は、 $(- 9, - \frac{2}{27})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 9, - \frac{2}{27})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 9)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 9.1$ で置換えます。

$f'' (- 9.1) = \frac{2 ((- 9.1) + 9)}{{(- 9.1)}^{4}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$- 9.1$ と $9$ をたし算します。

$f'' (- 9.1) = \frac{2 \cdot - 0.1}{{(- 9.1)}^{4}}$

ステップ 6.2.2

$- 9.1$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 9.1) = \frac{2 \cdot - 0.1}{6857.4961}$

ステップ 6.2.3

$2$ に $- 0.1$ をかけます。

$f'' (- 9.1) = \frac{- 0.2}{6857.4961}$

ステップ 6.2.4

$- 0.2$ を $6857.4961$ で割ります。

$f'' (- 9.1) = - 0.00002916$

ステップ 6.2.5

最終的な答えは $- 0.00002916$ です。

$- 0.00002916$

ステップ 6.3

$- 9.1$ で二次導関数は $- 2.91651642 E - 5$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - 9)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 9)$ で減少

ステップ 7

区間 $(- 9, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 8.9$ で置換えます。

$f'' (- 8.9) = \frac{2 ((- 8.9) + 9)}{{(- 8.9)}^{4}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$- 8.9$ と $9$ をたし算します。

$f'' (- 8.9) = \frac{2 \cdot 0.1}{{(- 8.9)}^{4}}$

ステップ 7.2.2

$- 8.9$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 8.9) = \frac{2 \cdot 0.1}{6274.2241}$

ステップ 7.2.3

$2$ に $0.1$ をかけます。

$f'' (- 8.9) = \frac{0.2}{6274.2241}$

ステップ 7.2.4

$0.2$ を $6274.2241$ で割ります。

$f'' (- 8.9) = 0.00003187$

ステップ 7.2.5

最終的な答えは $0.00003187$ です。

$0.00003187$

ステップ 7.3

$- 8.9$ で二次導関数は $3.18764514 E - 5$ です。これは正の値なので、 $(- 9, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- 9, \infty)$ で増加

ステップ 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(- 9, - \frac{2}{27})$ です。

$(- 9, - \frac{2}{27})$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例