微分積分例

$\frac{2 x}{9 x^{2} - 4}$

ステップ 1

$\frac{2 x}{9 x^{2} - 4}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{2 x}{9 x^{2} - 4}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 x}{9 x^{2} - 4}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{9 x^{2} - 4}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{9 x^{2} - 4}]$

ステップ 2.1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = 9 x^{2} - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$2 \frac{(9 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 4]}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{(9 x^{2} - 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 4]}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.2

$9 x^{2} - 4$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{9 x^{2} - 4 - x \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 4]}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3

総和則では、 $9 x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$2 \frac{9 x^{2} - 4 - x (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.4

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{2}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 \frac{9 x^{2} - 4 - x (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{9 x^{2} - 4 - x (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.6

$2$ に $9$ をかけます。

$2 \frac{9 x^{2} - 4 - x (18 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.7

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$2 \frac{9 x^{2} - 4 - x (18 x + 0)}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.8.1

$18 x$ と $0$ をたし算します。

$2 \frac{9 x^{2} - 4 - x (18 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.8.2

$18$ に $- 1$ をかけます。

$2 \frac{9 x^{2} - 4 - 18 x \cdot x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$2 \frac{9 x^{2} - 4 - 18 (x^{1} x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.5

$x$ を $1$ 乗します。

$2 \frac{9 x^{2} - 4 - 18 (x^{1} x^{1})}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \frac{9 x^{2} - 4 - 18 x^{1 + 1}}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 \frac{9 x^{2} - 4 - 18 x^{2}}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.8

$9 x^{2}$ から $18 x^{2}$ を引きます。

$2 \frac{- 9 x^{2} - 4}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.9

$2$ と $\frac{- 9 x^{2} - 4}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 (- 9 x^{2} - 4)}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (- 9 x^{2}) + 2 \cdot - 4}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.10.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.10.2.1

$- 9$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 18 x^{2} + 2 \cdot - 4}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.10.2.2

$2$ に $- 4$ をかけます。

$f' (x) = \frac{- 18 x^{2} - 8}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = - 18 x^{2} - 8$ および $g (x) = {(9 x^{2} - 4)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(9 x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [- 18 x^{2} - 8] - (- 18 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} - 4)}^{2}]}{{({(9 x^{2} - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

${({(9 x^{2} - 4)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(9 x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [- 18 x^{2} - 8] - (- 18 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} - 4)}^{2}]}{{(9 x^{2} - 4)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.2.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(9 x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [- 18 x^{2} - 8] - (- 18 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} - 4)}^{2}]}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.2

総和則では、 $- 18 x^{2} - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$\frac{{(9 x^{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (- 18 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} - 4)}^{2}]}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.3

$- 18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 18 x^{2}$ の微分係数は $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{{(9 x^{2} - 4)}^{2} (- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (- 18 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} - 4)}^{2}]}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(9 x^{2} - 4)}^{2} (- 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8]) - (- 18 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} - 4)}^{2}]}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.5

$2$ に $- 18$ をかけます。

$\frac{{(9 x^{2} - 4)}^{2} (- 36 x + \frac{d}{d x} [- 8]) - (- 18 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} - 4)}^{2}]}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.6

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(9 x^{2} - 4)}^{2} (- 36 x + 0) - (- 18 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} - 4)}^{2}]}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.7

$- 36 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{(9 x^{2} - 4)}^{2} (- 36 x) - (- 18 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} - 4)}^{2}]}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 9 x^{2} - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $9 x^{2} - 4$ とします。

$\frac{{(9 x^{2} - 4)}^{2} (- 36 x) - (- 18 x^{2} - 8) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 4])}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(9 x^{2} - 4)}^{2} (- 36 x) - (- 18 x^{2} - 8) (2 u \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 4])}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.3.3

$u$ のすべての発生を $9 x^{2} - 4$ で置き換えます。

$\frac{{(9 x^{2} - 4)}^{2} (- 36 x) - (- 18 x^{2} - 8) (2 (9 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 4])}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{{(9 x^{2} - 4)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} - 8) ((9 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 4])}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.2

総和則では、 $9 x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{{(9 x^{2} - 4)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} - 8) ((9 x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]))}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.3

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{2}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{{(9 x^{2} - 4)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} - 8) ((9 x^{2} - 4) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]))}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(9 x^{2} - 4)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} - 8) ((9 x^{2} - 4) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]))}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.5

$2$ に $9$ をかけます。

$\frac{{(9 x^{2} - 4)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} - 8) ((9 x^{2} - 4) (18 x + \frac{d}{d x} [- 4]))}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.6

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(9 x^{2} - 4)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} - 8) ((9 x^{2} - 4) (18 x + 0))}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.7.1

$18 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{(9 x^{2} - 4)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} - 8) ((9 x^{2} - 4) (18 x))}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.7.2

$18$ を $9 x^{2} - 4$ の左に移動させます。

$\frac{{(9 x^{2} - 4)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} - 8) (18 \cdot (9 x^{2} - 4) x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.7.3

$18$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{{(9 x^{2} - 4)}^{2} (- 36 x) - 36 (- 18 x^{2} - 8) ((9 x^{2} - 4) x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{{(9 x^{2} - 4)}^{2} (- 36 x) + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 8) ((9 x^{2} - 4) x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{{(9 x^{2} - 4)}^{2} (- 36 x) + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 8) (9 x^{2} x - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- 36 {(9 x^{2} - 4)}^{2} x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 8) (9 x^{2} x - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.2

${(9 x^{2} - 4)}^{2}$ を $(9 x^{2} - 4) (9 x^{2} - 4)$ に書き換えます。

$\frac{- 36 ((9 x^{2} - 4) (9 x^{2} - 4)) x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 8) (9 x^{2} x - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(9 x^{2} - 4) (9 x^{2} - 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- 36 (9 x^{2} (9 x^{2} - 4) - 4 (9 x^{2} - 4)) x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 8) (9 x^{2} x - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- 36 (9 x^{2} (9 x^{2}) + 9 x^{2} \cdot - 4 - 4 (9 x^{2} - 4)) x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 8) (9 x^{2} x - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- 36 (9 x^{2} (9 x^{2}) + 9 x^{2} \cdot - 4 - 4 (9 x^{2}) - 4 \cdot - 4) x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 8) (9 x^{2} x - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- 36 (9 \cdot 9 x^{2} x^{2} + 9 x^{2} \cdot - 4 - 4 (9 x^{2}) - 4 \cdot - 4) x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 8) (9 x^{2} x - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{- 36 (9 \cdot 9 (x^{2} x^{2}) + 9 x^{2} \cdot - 4 - 4 (9 x^{2}) - 4 \cdot - 4) x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 8) (9 x^{2} x - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 36 (9 \cdot 9 x^{2 + 2} + 9 x^{2} \cdot - 4 - 4 (9 x^{2}) - 4 \cdot - 4) x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 8) (9 x^{2} x - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 36 (9 \cdot 9 x^{4} + 9 x^{2} \cdot - 4 - 4 (9 x^{2}) - 4 \cdot - 4) x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 8) (9 x^{2} x - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.3

$9$ に $9$ をかけます。

$\frac{- 36 (81 x^{4} + 9 x^{2} \cdot - 4 - 4 (9 x^{2}) - 4 \cdot - 4) x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 8) (9 x^{2} x - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.4

$- 4$ に $9$ をかけます。

$\frac{- 36 (81 x^{4} - 36 x^{2} - 4 (9 x^{2}) - 4 \cdot - 4) x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 8) (9 x^{2} x - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.5

$9$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{- 36 (81 x^{4} - 36 x^{2} - 36 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 8) (9 x^{2} x - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.6

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{- 36 (81 x^{4} - 36 x^{2} - 36 x^{2} + 16) x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 8) (9 x^{2} x - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4.2

$- 36 x^{2}$ から $36 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- 36 (81 x^{4} - 72 x^{2} + 16) x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 8) (9 x^{2} x - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.5

分配則を当てはめます。

$\frac{(- 36 (81 x^{4}) - 36 (- 72 x^{2}) - 36 \cdot 16) x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 8) (9 x^{2} x - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.6.1

$81$ に $- 36$ をかけます。

$\frac{(- 2916 x^{4} - 36 (- 72 x^{2}) - 36 \cdot 16) x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 8) (9 x^{2} x - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.6.2

$- 72$ に $- 36$ をかけます。

$\frac{(- 2916 x^{4} + 2592 x^{2} - 36 \cdot 16) x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 8) (9 x^{2} x - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.6.3

$- 36$ に $16$ をかけます。

$\frac{(- 2916 x^{4} + 2592 x^{2} - 576) x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 8) (9 x^{2} x - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.7

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2916 x^{4} x + 2592 x^{2} x - 576 x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 8) (9 x^{2} x - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.8.1

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.8.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{- 2916 (x \cdot x^{4}) + 2592 x^{2} x - 576 x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 8) (9 x^{2} x - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.1.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.8.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2916 (x^{1} x^{4}) + 2592 x^{2} x - 576 x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 8) (9 x^{2} x - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 2916 x^{1 + 4} + 2592 x^{2} x - 576 x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 8) (9 x^{2} x - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.1.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{- 2916 x^{5} + 2592 x^{2} x - 576 x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 8) (9 x^{2} x - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.8.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{- 2916 x^{5} + 2592 (x \cdot x^{2}) - 576 x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 8) (9 x^{2} x - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.8.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2916 x^{5} + 2592 (x^{1} x^{2}) - 576 x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 8) (9 x^{2} x - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 2916 x^{5} + 2592 x^{1 + 2} - 576 x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 8) (9 x^{2} x - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 2916 x^{5} + 2592 x^{3} - 576 x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 8) (9 x^{2} x - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.9.1

$- 18$ に $- 36$ をかけます。

$\frac{- 2916 x^{5} + 2592 x^{3} - 576 x + (648 x^{2} - 36 \cdot - 8) (9 x^{2} x - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.9.2

$- 36$ に $- 8$ をかけます。

$\frac{- 2916 x^{5} + 2592 x^{3} - 576 x + (648 x^{2} + 288) (9 x^{2} x - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.10

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.10.1

$x$ を移動させます。

$\frac{- 2916 x^{5} + 2592 x^{3} - 576 x + (648 x^{2} + 288) (9 (x \cdot x^{2}) - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.10.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.10.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2916 x^{5} + 2592 x^{3} - 576 x + (648 x^{2} + 288) (9 (x^{1} x^{2}) - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.10.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 2916 x^{5} + 2592 x^{3} - 576 x + (648 x^{2} + 288) (9 x^{1 + 2} - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.10.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 2916 x^{5} + 2592 x^{3} - 576 x + (648 x^{2} + 288) (9 x^{3} - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.11

分配法則（FOIL法）を使って $(648 x^{2} + 288) (9 x^{3} - 4 x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.11.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2916 x^{5} + 2592 x^{3} - 576 x + 648 x^{2} (9 x^{3} - 4 x) + 288 (9 x^{3} - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.11.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2916 x^{5} + 2592 x^{3} - 576 x + 648 x^{2} (9 x^{3}) + 648 x^{2} (- 4 x) + 288 (9 x^{3} - 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.11.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2916 x^{5} + 2592 x^{3} - 576 x + 648 x^{2} (9 x^{3}) + 648 x^{2} (- 4 x) + 288 (9 x^{3}) + 288 (- 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.12.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- 2916 x^{5} + 2592 x^{3} - 576 x + 648 \cdot 9 x^{2} x^{3} + 648 x^{2} (- 4 x) + 288 (9 x^{3}) + 288 (- 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.2.1

$x^{3}$ を移動させます。

$\frac{- 2916 x^{5} + 2592 x^{3} - 576 x + 648 \cdot 9 (x^{3} x^{2}) + 648 x^{2} (- 4 x) + 288 (9 x^{3}) + 288 (- 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 2916 x^{5} + 2592 x^{3} - 576 x + 648 \cdot 9 x^{3 + 2} + 648 x^{2} (- 4 x) + 288 (9 x^{3}) + 288 (- 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.2.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 2916 x^{5} + 2592 x^{3} - 576 x + 648 \cdot 9 x^{5} + 648 x^{2} (- 4 x) + 288 (9 x^{3}) + 288 (- 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.3

$648$ に $9$ をかけます。

$\frac{- 2916 x^{5} + 2592 x^{3} - 576 x + 5832 x^{5} + 648 x^{2} (- 4 x) + 288 (9 x^{3}) + 288 (- 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- 2916 x^{5} + 2592 x^{3} - 576 x + 5832 x^{5} + 648 \cdot - 4 x^{2} x + 288 (9 x^{3}) + 288 (- 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.5

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.5.1

$x$ を移動させます。

$\frac{- 2916 x^{5} + 2592 x^{3} - 576 x + 5832 x^{5} + 648 \cdot - 4 (x \cdot x^{2}) + 288 (9 x^{3}) + 288 (- 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.5.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2916 x^{5} + 2592 x^{3} - 576 x + 5832 x^{5} + 648 \cdot - 4 (x^{1} x^{2}) + 288 (9 x^{3}) + 288 (- 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 2916 x^{5} + 2592 x^{3} - 576 x + 5832 x^{5} + 648 \cdot - 4 x^{1 + 2} + 288 (9 x^{3}) + 288 (- 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.5.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 2916 x^{5} + 2592 x^{3} - 576 x + 5832 x^{5} + 648 \cdot - 4 x^{3} + 288 (9 x^{3}) + 288 (- 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.6

$648$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{- 2916 x^{5} + 2592 x^{3} - 576 x + 5832 x^{5} - 2592 x^{3} + 288 (9 x^{3}) + 288 (- 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.7

$9$ に $288$ をかけます。

$\frac{- 2916 x^{5} + 2592 x^{3} - 576 x + 5832 x^{5} - 2592 x^{3} + 2592 x^{3} + 288 (- 4 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.8

$- 4$ に $288$ をかけます。

$\frac{- 2916 x^{5} + 2592 x^{3} - 576 x + 5832 x^{5} - 2592 x^{3} + 2592 x^{3} - 1152 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.2

$- 2592 x^{3}$ と $2592 x^{3}$ をたし算します。

$\frac{- 2916 x^{5} + 2592 x^{3} - 576 x + 5832 x^{5} + 0 - 1152 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.3

$5832 x^{5}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 2916 x^{5} + 2592 x^{3} - 576 x + 5832 x^{5} - 1152 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.2

$- 2916 x^{5}$ と $5832 x^{5}$ をたし算します。

$\frac{2916 x^{5} + 2592 x^{3} - 576 x - 1152 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.3

$- 576 x$ から $1152 x$ を引きます。

$\frac{2916 x^{5} + 2592 x^{3} - 1728 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.4.1

$108 x$ を $2916 x^{5} + 2592 x^{3} - 1728 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.4.1.1

$108 x$ を $2916 x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{108 x (27 x^{4}) + 2592 x^{3} - 1728 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.1.2

$108 x$ を $2592 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{108 x (27 x^{4}) + 108 x (24 x^{2}) - 1728 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.1.3

$108 x$ を $- 1728 x$ で因数分解します。

$\frac{108 x (27 x^{4}) + 108 x (24 x^{2}) + 108 x (- 16)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.1.4

$108 x$ を $108 x (27 x^{4}) + 108 x (24 x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{108 x (27 x^{4} + 24 x^{2}) + 108 x (- 16)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.1.5

$108 x$ を $108 x (27 x^{4} + 24 x^{2}) + 108 x (- 16)$ で因数分解します。

$\frac{108 x (27 x^{4} + 24 x^{2} - 16)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{108 x (27 {(x^{2})}^{2} + 24 x^{2} - 16)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.3

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$\frac{108 x (27 u^{2} + 24 u - 16)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.4

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.4.4.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 27 \cdot - 16 = - 432$ で和が $b = 24$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.4.4.1.1

$24$ を $24 u$ で因数分解します。

$\frac{108 x (27 u^{2} + 24 (u) - 16)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.4.1.2

$24$ を $- 12$ プラス $36$ に書き換える

$\frac{108 x (27 u^{2} + (- 12 + 36) u - 16)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{108 x (27 u^{2} - 12 u + 36 u - 16)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.4.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.4.4.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{108 x ((27 u^{2} - 12 u) + 36 u - 16)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.4.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{108 x (3 u (9 u - 4) + 4 (9 u - 4))}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.4.3

最大公約数 $9 u - 4$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{108 x ((9 u - 4) (3 u + 4))}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.5

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{108 x ((9 x^{2} - 4) (3 x^{2} + 4))}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.6

$9 x^{2}$ を ${(3 x)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{108 x (({(3 x)}^{2} - 4) (3 x^{2} + 4))}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{108 x (({(3 x)}^{2} - 2^{2}) (3 x^{2} + 4))}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.8

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 3 x$ であり、 $b = 2$ です。

$\frac{108 x (3 x + 2) (3 x - 2) (3 x^{2} + 4)}{{(9 x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.5

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.5.1

$9 x^{2}$ を ${(3 x)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{108 x (3 x + 2) (3 x - 2) (3 x^{2} + 4)}{{({(3 x)}^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.5.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{108 x (3 x + 2) (3 x - 2) (3 x^{2} + 4)}{{({(3 x)}^{2} - 2^{2})}^{4}}$

ステップ 2.2.5.5.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 3 x$ であり、 $b = 2$ です。

$\frac{108 x (3 x + 2) (3 x - 2) (3 x^{2} + 4)}{{((3 x + 2) (3 x - 2))}^{4}}$

ステップ 2.2.5.5.4

積の法則を $(3 x + 2) (3 x - 2)$ に当てはめます。

$\frac{108 x (3 x + 2) (3 x - 2) (3 x^{2} + 4)}{{(3 x + 2)}^{4} {(3 x - 2)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.6

$3 x + 2$ と ${(3 x + 2)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.6.1

$3 x + 2$ を $108 x (3 x + 2) (3 x - 2) (3 x^{2} + 4)$ で因数分解します。

$\frac{(3 x + 2) ((108 x (3 x - 2)) (3 x^{2} + 4))}{{(3 x + 2)}^{4} {(3 x - 2)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.6.2.1

$3 x + 2$ を ${(3 x + 2)}^{4} {(3 x - 2)}^{4}$ で因数分解します。

$\frac{(3 x + 2) ((108 x (3 x - 2)) (3 x^{2} + 4))}{(3 x + 2) ({(3 x + 2)}^{3} {(3 x - 2)}^{4})}$

ステップ 2.2.5.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{(3 x + 2) ((108 x (3 x - 2)) (3 x^{2} + 4))}{(3 x + 2) ({(3 x + 2)}^{3} {(3 x - 2)}^{4})}$

ステップ 2.2.5.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{(108 x (3 x - 2)) (3 x^{2} + 4)}{{(3 x + 2)}^{3} {(3 x - 2)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.7

$3 x - 2$ と ${(3 x - 2)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.7.1

$3 x - 2$ を $(108 x (3 x - 2)) (3 x^{2} + 4)$ で因数分解します。

$\frac{(3 x - 2) ((108 x) (3 x^{2} + 4))}{{(3 x + 2)}^{3} {(3 x - 2)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.7.2.1

$3 x - 2$ を ${(3 x + 2)}^{3} {(3 x - 2)}^{4}$ で因数分解します。

$\frac{(3 x - 2) ((108 x) (3 x^{2} + 4))}{(3 x - 2) ({(3 x + 2)}^{3} {(3 x - 2)}^{3})}$

ステップ 2.2.5.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{(3 x - 2) ((108 x) (3 x^{2} + 4))}{(3 x - 2) ({(3 x + 2)}^{3} {(3 x - 2)}^{3})}$

ステップ 2.2.5.7.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{(108 x) (3 x^{2} + 4)}{{(3 x + 2)}^{3} {(3 x - 2)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{108 x (3 x^{2} + 4)}{{(3 x + 2)}^{3} {(3 x - 2)}^{3}}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{108 x (3 x^{2} + 4)}{{(3 x + 2)}^{3} {(3 x - 2)}^{3}}$ です。

$\frac{108 x (3 x^{2} + 4)}{{(3 x + 2)}^{3} {(3 x - 2)}^{3}}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{108 x (3 x^{2} + 4)}{{(3 x + 2)}^{3} {(3 x - 2)}^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{108 x (3 x^{2} + 4)}{{(3 x + 2)}^{3} {(3 x - 2)}^{3}} = 0$

ステップ 3.2

分子を0に等しくします。

$108 x (3 x^{2} + 4) = 0$

ステップ 3.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$3 x^{2} + 4 = 0$

ステップ 3.3.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 3.3.3

$3 x^{2} + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$3 x^{2} + 4$ が $0$ に等しいとします。

$3 x^{2} + 4 = 0$

ステップ 3.3.3.2

$x$ について $3 x^{2} + 4 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$3 x^{2} = - 4$

ステップ 3.3.3.2.2

$3 x^{2} = - 4$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.2.1

$3 x^{2} = - 4$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 4}{3}$

ステップ 3.3.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 4}{3}$

ステップ 3.3.3.2.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 4}{3}$

ステップ 3.3.3.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} = - \frac{4}{3}$

ステップ 3.3.3.2.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$

ステップ 3.3.3.2.4

$\pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.4.1

$- \frac{4}{3}$ を $i^{2} \frac{2^{2}}{3}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.4.1.1

$- 1$ を $i^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{4}{3}}$

ステップ 3.3.3.2.4.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2^{2}}{3}}$

ステップ 3.3.3.2.4.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \sqrt{\frac{2^{2}}{3}}$

ステップ 3.3.3.2.4.3

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \pm i \sqrt{\frac{4}{3}}$

ステップ 3.3.3.2.4.4

$\sqrt{\frac{4}{3}}$ を $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

ステップ 3.3.3.2.4.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.3.2.4.5.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

ステップ 3.3.3.2.4.5.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \frac{2}{\sqrt{3}}$

ステップ 3.3.3.2.4.6

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm i (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

ステップ 3.3.3.2.4.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.3.3.2.4.7.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 3.3.3.2.4.7.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 3.3.3.2.4.7.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 3.3.3.2.4.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.3.3.2.4.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 3.3.3.2.4.7.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 3.3.3.2.4.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.3.3.2.4.7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.3.3.2.4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.3.3.2.4.7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.2.4.7.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.3.3.2.4.7.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 3.3.3.2.4.7.6.5

指数を求めます。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.3.3.2.4.8

$i$ と $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ をまとめます。

$x = \pm \frac{i (2 \sqrt{3})}{3}$

ステップ 3.3.3.2.4.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.3.3.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.3.3.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.3.3.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.3.3.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.3.4

最終解は $108 x (3 x^{2} + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 4.1

$0$ を $f (x) = \frac{2 x}{9 x^{2} - 4}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{2 (0)}{9 {(0)}^{2} - 4}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$2$ に $0$ をかけます。

$f (0) = \frac{0}{9 \cdot 0^{2} - 4}$

ステップ 4.1.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \frac{0}{9 \cdot 0 - 4}$

ステップ 4.1.2.2.2

$9$ に $0$ をかけます。

$f (0) = \frac{0}{0 - 4}$

ステップ 4.1.2.2.3

$0$ から $4$ を引きます。

$f (0) = \frac{0}{- 4}$

ステップ 4.1.2.3

$0$ を $- 4$ で割ります。

$f (0) = 0$

ステップ 4.1.2.4

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 4.2

$f (x) = \frac{2 x}{9 x^{2} - 4}$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 0)$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 0.1$ で置換えます。

$f'' (- 0.1) = \frac{108 (- 0.1) (3 {(- 0.1)}^{2} + 4)}{{(3 (- 0.1) + 2)}^{3} {(3 (- 0.1) - 2)}^{3}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$108$ に $- 0.1$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 10.8 (3 {(- 0.1)}^{2} + 4)}{{(3 (- 0.1) + 2)}^{3} {(3 (- 0.1) - 2)}^{3}}$

ステップ 6.2.1.2

$- 10.8$ に $3 {(- 0.1)}^{2} + 4$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 43.524}{{(3 (- 0.1) + 2)}^{3} {(3 (- 0.1) - 2)}^{3}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$3$ に $- 0.1$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 43.524}{{(- 0.3 + 2)}^{3} {(3 (- 0.1) - 2)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.2

$- 0.3$ と $2$ をたし算します。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 43.524}{{1.7}^{3} {(3 (- 0.1) - 2)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.3

$3$ に $- 0.1$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 43.524}{{1.7}^{3} {(- 0.3 - 2)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.4

$- 0.3$ から $2$ を引きます。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 43.524}{{1.7}^{3} {(- 2.3)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.5

$1.7$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 43.524}{4.913 {(- 2.3)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.6

$- 2.3$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 43.524}{4.913 \cdot - 12.167}$

ステップ 6.2.3

式を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

$4.913$ に $- 12.167$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 43.524}{- 59.776471}$

ステップ 6.2.3.2

$- 43.524$ を $- 59.776471$ で割ります。

$f'' (- 0.1) = 0.72811257$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $0.72811257$ です。

$0.72811257$

ステップ 6.3

$- 0.1$ で二次導関数は $0.72811257$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, 0)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, 0)$ で増加

ステップ 7

区間 $(0, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0.1$ で置換えます。

$f'' (0.1) = \frac{108 (0.1) (3 {(0.1)}^{2} + 4)}{{(3 (0.1) + 2)}^{3} {(3 (0.1) - 2)}^{3}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$108$ に $0.1$ をかけます。

$f'' (0.1) = \frac{10.8 (3 \cdot {0.1}^{2} + 4)}{{(3 (0.1) + 2)}^{3} {(3 (0.1) - 2)}^{3}}$

ステップ 7.2.1.2

$10.8$ に $3 \cdot {0.1}^{2} + 4$ をかけます。

$f'' (0.1) = \frac{43.524}{{(3 (0.1) + 2)}^{3} {(3 (0.1) - 2)}^{3}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$3$ に $0.1$ をかけます。

$f'' (0.1) = \frac{43.524}{{(0.3 + 2)}^{3} {(3 (0.1) - 2)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.2

$0.3$ と $2$ をたし算します。

$f'' (0.1) = \frac{43.524}{{2.3}^{3} {(3 (0.1) - 2)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.3

$3$ に $0.1$ をかけます。

$f'' (0.1) = \frac{43.524}{{2.3}^{3} {(0.3 - 2)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.4

$0.3$ から $2$ を引きます。

$f'' (0.1) = \frac{43.524}{{2.3}^{3} {(- 1.7)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.5

$2.3$ を $3$ 乗します。

$f'' (0.1) = \frac{43.524}{12.167 {(- 1.7)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.6

$- 1.7$ を $3$ 乗します。

$f'' (0.1) = \frac{43.524}{12.167 \cdot - 4.913}$

ステップ 7.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$12.167$ に $- 4.913$ をかけます。

$f'' (0.1) = \frac{43.524}{- 59.776471}$

ステップ 7.2.3.2

$43.524$ を $- 59.776471$ で割ります。

$f'' (0.1) = - 0.72811257$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $- 0.72811257$ です。

$- 0.72811257$

ステップ 7.3

$0.1$ で二次導関数は $- 0.72811257$ です。これは負の値なので、 $(0, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(0, \infty)$ で減少

ステップ 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(0, 0)$ です。

$(0, 0)$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例