微分積分例

$f (x) = 10 x \ln (| x |)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 x \ln (| x |)$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$ です。

$10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$

ステップ 1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (| x |)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$10 (x \frac{d}{d x} [\ln (| x |)] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = | x |$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $| x |$ とします。

$10 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$10 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.3

$u$ のすべての発生を $| x |$ で置き換えます。

$10 (x (\frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4

$\frac{1}{| x |}$ と $x$ をまとめます。

$10 (\frac{x}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.5

$x$ に関する $| x |$ の微分係数は $\frac{x}{| x |}$ です。

$10 (\frac{x}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.6

$\frac{x}{| x |}$ に $\frac{x}{| x |}$ をかけます。

$10 (\frac{x \cdot x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.7

$x$ を $1$ 乗します。

$10 (\frac{x^{1} x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.8

$x$ を $1$ 乗します。

$10 (\frac{x^{1} x^{1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$10 (\frac{x^{1 + 1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.10

$1$ と $1$ をたし算します。

$10 (\frac{x^{2}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.11

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$10 (\frac{x^{2}}{| x \cdot x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.12

$x$ を $1$ 乗します。

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.13

$x$ を $1$ 乗します。

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x^{1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.14

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1 + 1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.15

$1$ と $1$ をたし算します。

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.16

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \cdot 1)$

ステップ 1.17

$\ln (| x |)$ に $1$ をかけます。

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |))$

ステップ 1.18

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.18.1

分配則を当てはめます。

$10 \frac{x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

ステップ 1.18.2

$10$ と $\frac{x^{2}}{| x^{2} |}$ をまとめます。

$\frac{10 x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

ステップ 1.18.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.18.3.1

絶対値から非負の項を削除します。

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

ステップ 1.18.3.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.18.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

ステップ 1.18.3.2.2

$10$ を $1$ で割ります。

$10 + 10 \ln (| x |)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $10 + 10 \ln (| x |)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [10 \ln (| x |)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10) + \frac{d}{d x} (10 \ln (| x |))$

ステップ 2.1.2

$10$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $10$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (10 \ln (| x |))$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [10 \ln (| x |)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 \ln (| x |)$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ です。

$f'' (x) = 0 + 10 \frac{d}{d x} (\ln (| x |))$

ステップ 2.2.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = | x |$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $| x |$ とします。

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (| x |))$

ステップ 2.2.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (| x |))$

ステップ 2.2.2.3

$u$ のすべての発生を $| x |$ で置き換えます。

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{1}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (| x |))$

ステップ 2.2.3

$x$ に関する $| x |$ の微分係数は $\frac{x}{| x |}$ です。

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |})$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{| x |}$ に $\frac{x}{| x |}$ をかけます。

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x | | x |})$

ステップ 2.2.5

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x \cdot x |})$

ステップ 2.2.6

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x \cdot x |})$

ステップ 2.2.7

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x \cdot x |})$

ステップ 2.2.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x^{1 + 1} |})$

ステップ 2.2.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x^{2} |})$

ステップ 2.2.10

$10$ と $\frac{x}{| x^{2} |}$ をまとめます。

$f'' (x) = 0 + \frac{10 x}{| x^{2} |}$

ステップ 2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$0$ と $\frac{10 x}{| x^{2} |}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{10 x}{| x^{2} |}$

ステップ 2.3.2

絶対値から非負の項を削除します。

$f'' (x) = \frac{10 x}{x^{2}}$

ステップ 2.3.3

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$x$ を $10 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{x \cdot 10}{x^{2}}$

ステップ 2.3.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{x \cdot 10}{x \cdot x}$

ステップ 2.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{x \cdot 10}{x \cdot x}$

ステップ 2.3.3.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{10}{x}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$10 + 10 \ln (| x |) = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 x \ln (| x |)$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$ です。

$10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$

ステップ 4.1.2

$10 (x \frac{d}{d x} [\ln (| x |)] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = | x |$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $| x |$ とします。

$10 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$10 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.3.3

$u$ のすべての発生を $| x |$ で置き換えます。

$10 (x (\frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.4

$\frac{1}{| x |}$ と $x$ をまとめます。

$10 (\frac{x}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.5

$x$ に関する $| x |$ の微分係数は $\frac{x}{| x |}$ です。

$10 (\frac{x}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.6

$\frac{x}{| x |}$ に $\frac{x}{| x |}$ をかけます。

$10 (\frac{x \cdot x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.7

$x$ を $1$ 乗します。

$10 (\frac{x^{1} x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.8

$x$ を $1$ 乗します。

$10 (\frac{x^{1} x^{1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$10 (\frac{x^{1 + 1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.10

$1$ と $1$ をたし算します。

$10 (\frac{x^{2}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.11

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$10 (\frac{x^{2}}{| x \cdot x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.12

$x$ を $1$ 乗します。

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.13

$x$ を $1$ 乗します。

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x^{1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.14

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1 + 1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.15

$1$ と $1$ をたし算します。

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.16

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \cdot 1)$

ステップ 4.1.17

$\ln (| x |)$ に $1$ をかけます。

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |))$

ステップ 4.1.18

簡約します。

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ステップ 4.1.18.1

分配則を当てはめます。

$10 \frac{x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

ステップ 4.1.18.2

$10$ と $\frac{x^{2}}{| x^{2} |}$ をまとめます。

$\frac{10 x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

ステップ 4.1.18.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.18.3.1

絶対値から非負の項を削除します。

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

ステップ 4.1.18.3.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.18.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

ステップ 4.1.18.3.2.2

$10$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = 10 + 10 \ln (| x |)$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $10 + 10 \ln (| x |)$ です。

$10 + 10 \ln (| x |)$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $10 + 10 \ln (| x |) = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$10 + 10 \ln (| x |) = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $10$ を引きます。

$10 \ln (| x |) = - 10$

ステップ 5.3

$10 \ln (| x |) = - 10$ の各項を $10$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$10 \ln (| x |) = - 10$ の各項を $10$ で割ります。

$\frac{10 \ln (| x |)}{10} = \frac{- 10}{10}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{10 \ln (| x |)}{10} = \frac{- 10}{10}$

ステップ 5.3.2.1.2

$\ln (| x |)$ を $1$ で割ります。

$\ln (| x |) = \frac{- 10}{10}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$- 10$ を $10$ で割ります。

$\ln (| x |) = - 1$

ステップ 5.4

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| x |)} = e^{- 1}$

ステップ 5.5

対数の定義を利用して $\ln (| x |) = - 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- 1} = | x |$

ステップ 5.6

$x$ について解きます。

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ステップ 5.6.1

方程式を $| x | = e^{- 1}$ として書き換えます。

$| x | = e^{- 1}$

ステップ 5.6.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$| x | = \frac{1}{e}$

ステップ 5.6.3

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$x = \pm \frac{1}{e}$

ステップ 5.6.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.6.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{1}{e}$

ステップ 5.6.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{1}{e}$

ステップ 5.6.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{1}{e}, - \frac{1}{e}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\ln (| x |)$ の偏角を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$| x | \leq 0$

ステップ 6.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$| x | \leq 0$ を区分で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 6.2.1.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x \leq 0$

ステップ 6.2.1.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 6.2.1.4

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x \leq 0$

ステップ 6.2.1.5

区分で書きます。

${\begin{cases} x \leq 0 & x \geq 0 \\ - x \leq 0 & x < 0 \end{cases}$

ステップ 6.2.2

$x \leq 0$ と $x \geq 0$ の交点を求めます。

$x = 0$

ステップ 6.2.3

$x < 0$ のとき、 $- x \leq 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$- x \leq 0$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.3.1.1

$- x \leq 0$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

ステップ 6.2.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

ステップ 6.2.3.1.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{0}{- 1}$

ステップ 6.2.3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1.3.1

$0$ を $- 1$ で割ります。

$x \geq 0$

ステップ 6.2.3.2

$x \geq 0$ と $x < 0$ の交点を求めます。

解がありません

ステップ 6.2.4

解の和集合を求めます。

$x = 0$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = \frac{1}{e}, - \frac{1}{e}$

ステップ 8

$x = \frac{1}{e}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{10}{\frac{1}{e}}$

ステップ 9

分子に分母の逆数を掛けます。

$10 e$

ステップ 10

$x = \frac{1}{e}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{1}{e}$ は極小値です

ステップ 11

$x = \frac{1}{e}$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $\frac{1}{e}$ で置換えます。

$f (\frac{1}{e}) = 10 (\frac{1}{e}) \ln (| \frac{1}{e} |)$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$10$ と $\frac{1}{e}$ をまとめます。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot \ln (| \frac{1}{e} |)$

ステップ 11.2.2

$\frac{1}{e}$ は約 $0.36787944$ 。正の数なので絶対値を削除します

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e})$

ステップ 11.2.3

$\frac{1}{e}$ を $1 e^{- 1}$ に書き換えます。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

ステップ 11.2.4

$\ln (1 e^{- 1})$ を $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ に書き換えます。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

ステップ 11.2.5

対数の法則を利用して指数の外に $- 1$ を移動します。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

ステップ 11.2.6

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

ステップ 11.2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

ステップ 11.2.8

$1$ の自然対数は $0$ です。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (0 - 1)$

ステップ 11.2.9

$0$ から $1$ を引きます。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot - 1$

ステップ 11.2.10

$\frac{10}{e} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.10.1

$\frac{10}{e}$ と $- 1$ をまとめます。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10 \cdot - 1}{e}$

ステップ 11.2.10.2

$10$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 10}{e}$

ステップ 11.2.11

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{10}{e}$

ステップ 11.2.12

最終的な答えは $- \frac{10}{e}$ です。

$y = - \frac{10}{e}$

ステップ 12

$x = - \frac{1}{e}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{10}{- \frac{1}{e}}$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 13.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$10 (- e)$

ステップ 13.2

$- 1$ に $10$ をかけます。

$- 10 e$

ステップ 14

$x = - \frac{1}{e}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \frac{1}{e}$ は極大値です

ステップ 15

$x = - \frac{1}{e}$ のときy値を求めます。

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ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $- \frac{1}{e}$ で置換えます。

$f (- \frac{1}{e}) = 10 (- \frac{1}{e}) \ln (| - \frac{1}{e} |)$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

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ステップ 15.2.1

$10 (- \frac{1}{e})$ を掛けます。

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ステップ 15.2.1.1

$- 1$ に $10$ をかけます。

$f (- \frac{1}{e}) = - 10 \frac{1}{e} \cdot \ln (| - \frac{1}{e} |)$

ステップ 15.2.1.2

$- 10$ と $\frac{1}{e}$ をまとめます。

$f (- \frac{1}{e}) = \frac{- 10}{e} \cdot \ln (| - \frac{1}{e} |)$

ステップ 15.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot \ln (| - \frac{1}{e} |)$

ステップ 15.2.3

$- \frac{1}{e}$ は約 $- 0.36787944$ 。負の数なので $- \frac{1}{e}$ は無効で、絶対値を削除します

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e})$

ステップ 15.2.4

$\frac{1}{e}$ を $1 e^{- 1}$ に書き換えます。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

ステップ 15.2.5

$\ln (1 e^{- 1})$ を $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ に書き換えます。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

ステップ 15.2.6

対数の法則を利用して指数の外に $- 1$ を移動します。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

ステップ 15.2.7

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

ステップ 15.2.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

ステップ 15.2.9

$1$ の自然対数は $0$ です。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (0 - 1)$

ステップ 15.2.10

$0$ から $1$ を引きます。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot - 1$

ステップ 15.2.11

$- \frac{10}{e} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.11.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \frac{1}{e}) = 1 (\frac{10}{e})$

ステップ 15.2.11.2

$\frac{10}{e}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{1}{e}) = \frac{10}{e}$

ステップ 15.2.12

最終的な答えは $\frac{10}{e}$ です。

$y = \frac{10}{e}$

ステップ 16

$f (x) = 10 x \ln (| x |)$ の極値です。

$(\frac{1}{e}, - \frac{10}{e})$ は極小値です

$(- \frac{1}{e}, \frac{10}{e})$ は極大値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例