微分積分例

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = {(x - 1)}^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}] - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 1) (2 u \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$\frac{(x^{2} + 1) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$2$ を $x^{2} + 1$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (1 + 0) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) \cdot 1 - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3.6

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3.8

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3.9

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.9.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3.9.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(2 x^{2} + 2) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x^{2} + 2) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} (x - 1) + 2 (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.3.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.3.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2.1.3.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.3.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2.1.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2.1.3.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2.1.3.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2.1.4

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 ((x - 1) (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2.1.5

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2.1.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2.1.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2.1.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.6.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2.1.6.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2.1.6.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2.1.6.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2.1.6.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2.1.6.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - 2 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2.1.7

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2.1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.8.1

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} + 4 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2.1.8.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} + 4 x - 2) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2.1.9

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{2} x + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2.1.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.10.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.10.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x^{2}) + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2.1.10.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.10.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{1} x^{2}) + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2.1.10.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{1 + 2} + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2.1.10.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2.1.10.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.10.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 (x \cdot x) - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2.1.10.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2.2

$2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 2 + 0 + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2.2.2

$- 2 x^{2} + 2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 2 + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2.2.3

$2 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2} + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2.2.4

$- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2.3

$- 2 x^{2}$ と $4 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} - 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

$2$ を $2 x^{2} - 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1.1

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (x^{2}) - 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.3.1.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.3.1.3

$2$ を $2 (x^{2}) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.3.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 (x^{2} - 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.3.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ です。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{(x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

ステップ 3.2

$f (x) = (x + 1) (x - 1)$ および $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}})$

ステップ 3.3

${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}})$

ステップ 3.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 3.4

$f (x) = x + 1$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 3.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 3.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 3.5.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 3.5.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 3.5.4.2

$x + 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 3.5.5

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 3.5.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 3.5.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + 0)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 3.5.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) \cdot 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 3.5.8.2

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + x - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 3.5.8.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 1 - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 3.5.8.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.8.4.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 0) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 3.5.8.4.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 3.5.8.4.3

$2$ を ${(x^{2} + 1)}^{2}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 2 (\frac{2 \cdot ({(x^{2} + 1)}^{2} x) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 3.6

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 3.6.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 3.6.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 3.7

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 3.7.2

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 3.7.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 3.7.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 3.7.5

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.5.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 3.7.5.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.5.2.1

$2$ を $x^{2} + 1$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) (2 \cdot ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 3.7.5.2.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 3.7.5.3

$2$ と $\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1.1

${(x^{2} + 1)}^{2}$ を $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 (2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1.2.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.2.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.2.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1.3.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1.3.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.3.1.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.3.1.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.3.1.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.3.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.3.2

$x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.4

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 ((2 x^{4} + 2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1.5.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 ((2 x^{4} + 4 x^{2} + 2 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 ((2 x^{4} + 4 x^{2} + 2) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.6

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{4} x + 4 x^{2} x + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1.7.1

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1.7.1.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{4}) + 4 x^{2} x + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.7.1.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1.7.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{4}) + 4 x^{2} x + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.7.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{1 + 4} + 4 x^{2} x + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.7.1.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{5} + 4 x^{2} x + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.7.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1.7.2.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.7.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1.7.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.7.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{5} + 4 x^{1 + 2} + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.7.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{5} + 4 x^{3} + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.8

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{5}) + 2 (4 x^{3}) + 2 (2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1.9.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 2 (4 x^{3}) + 2 (2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.9.2

$4$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 2 (2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.9.3

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.10

$- 4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x - 4) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.11

分配法則（FOIL法）を使って $(- 4 x - 4) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1.11.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x (x - 1) - 4 (x - 1)) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.11.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 4 (x - 1)) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.11.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.12

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1.12.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1.12.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1.12.1.1.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.12.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.12.1.2

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4 x - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.12.1.3

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4 x - 4 x + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.12.2

$4 x$ から $4 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 0 + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.12.3

$- 4 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.13

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1.13.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1.13.1.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1.13.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.13.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2 + 1} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.13.1.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.13.2

$x$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.14

分配法則（FOIL法）を使って $(- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1.14.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{2} (x^{3} + x) + 4 (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.14.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} x + 4 (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.14.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.15

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1.15.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1.15.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1.15.1.1.1

$x^{3}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 (x^{3} x^{2}) - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.15.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{3 + 2} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.15.1.1.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.15.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1.15.1.2.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.15.1.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1.15.1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.15.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 x^{1 + 2} + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.15.1.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 x^{3} + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.15.2

$- 4 x^{3}$ と $4 x^{3}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} + 0 + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.15.3

$- 4 x^{5}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.16

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5}) + 2 (4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.17

$- 4$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x - 8 x^{5} + 2 (4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.1.18

$4$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x - 8 x^{5} + 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.2

$4 x^{5}$ から $8 x^{5}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.4.3

$4 x$ と $8 x$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 8 x^{3} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.5.1

$4 x$ を $- 4 x^{5} + 8 x^{3} + 12 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.5.1.1

$4 x$ を $- 4 x^{5}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{4 x (- x^{4}) + 8 x^{3} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.5.1.2

$4 x$ を $8 x^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{4 x (- x^{4}) + 4 x (2 x^{2}) + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.5.1.3

$4 x$ を $12 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{4 x (- x^{4}) + 4 x (2 x^{2}) + 4 x (3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.5.1.4

$4 x$ を $4 x (- x^{4}) + 4 x (2 x^{2})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{4 x (- x^{4} + 2 x^{2}) + 4 x (3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.5.1.5

$4 x$ を $4 x (- x^{4} + 2 x^{2}) + 4 x (3)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{4 x (- x^{4} + 2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.5.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{4 x (- {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.5.3

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$f'' (x) = \frac{4 x (- u^{2} + 2 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.5.4

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.5.4.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ で和が $b = 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.5.4.1.1

$2$ を $2 u$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{4 x (- u^{2} + 2 (u) + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.5.4.1.2

$2$ を $- 1$ プラス $3$ に書き換える

$f'' (x) = \frac{4 x (- u^{2} + (- 1 + 3) u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.5.4.1.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 x (- u^{2} - 1 u + 3 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.5.4.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.5.4.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4 x ((- u^{2} - 1 u) + 3 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.5.4.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$f'' (x) = \frac{4 x (u (- u - 1) - 3 (- u - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.5.4.3

最大公約数 $- u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$f'' (x) = \frac{4 x ((- u - 1) (u - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.5.5

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{4 x (- x^{2} - 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.6

$- x^{2} - 1$ と ${(x^{2} + 1)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.6.1

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{4 x (- (x^{2}) - 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.6.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{4 x (- (x^{2}) - 1 \cdot 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.6.3

$- 1$ を $- (x^{2}) - 1 (1)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{4 x (- (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.6.4

$- (x^{2} + 1)$ を $- 1 (x^{2} + 1)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{4 x (- 1 (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.6.5

$x^{2} + 1$ を $4 x (- 1 (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.8.6.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.6.6.1

$x^{2} + 1$ を ${(x^{2} + 1)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 3.8.6.6.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 3.8.6.6.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{4 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 3.8.7

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 3.8.8

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}] - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 1) (2 u \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$\frac{(x^{2} + 1) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$2$ を $x^{2} + 1$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.3.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (1 + 0) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) \cdot 1 - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.3.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.3.6

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.3.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.3.8

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.3.9

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.9.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.3.9.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.2.1.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(2 x^{2} + 2) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x^{2} + 2) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} (x - 1) + 2 (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.2.1.3.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.2.1.3.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.1.3.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.2.1.3.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.1.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.1.3.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.1.3.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.1.4

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 ((x - 1) (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.1.5

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.2.1.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.1.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.1.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.1.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.2.1.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.2.1.6.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.1.6.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.1.6.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.1.6.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.1.6.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.1.6.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - 2 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.1.7

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.2.1.8.1

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} + 4 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.1.8.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} + 4 x - 2) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.1.9

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{2} x + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.1.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.2.1.10.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.2.1.10.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x^{2}) + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.1.10.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.2.1.10.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{1} x^{2}) + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.1.10.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{1 + 2} + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.1.10.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.1.10.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.2.1.10.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 (x \cdot x) - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.1.10.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.2

$2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.2.2.1

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 2 + 0 + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.2.2

$- 2 x^{2} + 2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 2 + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.2.3

$2 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2} + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.2.4

$- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.3

$- 2 x^{2}$ と $4 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} - 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.3.1

$2$ を $2 x^{2} - 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.3.1.1

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (x^{2}) - 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.3.1.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.3.1.3

$2$ を $2 (x^{2}) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.3.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 (x^{2} - 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.3.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ です。

$\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

ステップ 6.2

分子を0に等しくします。

$2 (x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 6.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 6.3.2

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 6.3.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 6.3.3

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 6.3.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 6.3.4

最終解は $2 (x + 1) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, 1$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = - 1, 1$

ステップ 9

$x = - 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{4 (- 1) ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 10.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

ステップ 10.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} - 3)}{2^{3}}$

ステップ 10.2.3

$2$ を $3$ 乗します。

$- \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} - 3)}{8}$

ステップ 10.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- \frac{- 4 (1 - 3)}{8}$

ステップ 10.3.2

$1$ から $3$ を引きます。

$- \frac{- 4 \cdot - 2}{8}$

ステップ 10.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$- \frac{8}{8}$

ステップ 10.4.2

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{8}{8}$

ステップ 10.4.2.2

式を書き換えます。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 10.4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 11

$x = - 1$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 1$ は極大値です

ステップ 12

$x = - 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = \frac{{((- 1) - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2} + 1}$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

${((- 1) - 1)}^{2}$ と ${(- 1)}^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

$- 1$ を ${(- 1)}^{2}$ で因数分解します。

$f (- 1) = \frac{{((- 1) - 1)}^{2}}{1 + 1}$

ステップ 12.2.1.2

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$f (- 1) = \frac{{((- 1) - 1)}^{2}}{1 - 1 \cdot - 1}$

ステップ 12.2.1.3

$- 1$ を $- - 1 - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$f (- 1) = \frac{{((- 1) - 1)}^{2}}{- (- 1 - 1)}$

ステップ 12.2.1.4

$- (- 1 - 1)$ を $- 1 (- 1 - 1)$ に書き換えます。

$f (- 1) = \frac{{((- 1) - 1)}^{2}}{- 1 (- 1 - 1)}$

ステップ 12.2.1.5

$- 1 - 1$ を ${(- 1 - 1)}^{2}$ で因数分解します。

$f (- 1) = \frac{(- 1 - 1) (- 1 - 1)}{- 1 (- 1 - 1)}$

ステップ 12.2.1.6

$\frac{- 1 - 1}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$f (- 1) = - 1 \cdot (- 1 - 1)$

ステップ 12.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.2.1

$- 1 \cdot (- 1 - 1)$ を $- (- 1 - 1)$ に書き換えます。

$f (- 1) = - (- 1 - 1)$

ステップ 12.2.2.2

$- 1$ から $1$ を引きます。

$f (- 1) = 2$

ステップ 12.2.2.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f (- 1) = 2$

ステップ 12.2.3

最終的な答えは $2$ です。

$y = 2$

ステップ 13

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{4 (1) ({(1)}^{2} - 3)}{{({(1)}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 14

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$4$ に $1$ をかけます。

$- \frac{4 (1^{2} - 3)}{{(1^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 14.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{4 (1^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

ステップ 14.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{4 (1^{2} - 3)}{2^{3}}$

ステップ 14.2.3

$2$ を $3$ 乗します。

$- \frac{4 (1^{2} - 3)}{8}$

ステップ 14.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{4 (1 - 3)}{8}$

ステップ 14.3.2

$1$ から $3$ を引きます。

$- \frac{4 \cdot - 2}{8}$

ステップ 14.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.1

$4$ に $- 2$ をかけます。

$- \frac{- 8}{8}$

ステップ 14.4.2

$- 8$ を $8$ で割ります。

$- - 1$

ステップ 14.4.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1$

ステップ 15

$x = 1$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1$ は極小値です

ステップ 16

$x = 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \frac{{((1) - 1)}^{2}}{{(1)}^{2} + 1}$

ステップ 16.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f (1) = \frac{0^{2}}{1^{2} + 1}$

ステップ 16.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (1) = \frac{0}{1^{2} + 1}$

ステップ 16.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = \frac{0}{1 + 1}$

ステップ 16.2.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (1) = \frac{0}{2}$

ステップ 16.2.3

$0$ を $2$ で割ります。

$f (1) = 0$

ステップ 16.2.4

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 17

$f (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$ の極値です。

$(- 1, 2)$ は極大値です

$(1, 0)$ は極小値です

ステップ 18

微分積分 例

微分積分例