微分積分例

$\frac{8}{x^{2} - 4 x}$

ステップ 1

$\frac{8}{x^{2} - 4 x}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{8}{x^{2} - 4 x}$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{8}{x^{2} - 4 x}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 4 x}]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 4 x}]$

ステップ 2.1.2

$\frac{1}{x^{2} - 4 x}$ を ${(x^{2} - 4 x)}^{- 1}$ に書き換えます。

$8 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4 x)}^{- 1}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2} - 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 4 x$ とします。

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

ステップ 2.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 4 x$ で置き換えます。

$8 (- {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1$ に $8$ をかけます。

$- 8 ({(x^{2} - 4 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $x^{2} - 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ です。

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

ステップ 2.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

ステップ 2.3.4

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4 \cdot 1)$

ステップ 2.3.6

$- 4$ に $1$ をかけます。

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4)$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 8 \frac{1}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$- 8$ と $\frac{1}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

ステップ 2.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

ステップ 2.4.3

$- \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$ の因数を並べ替えます。

$- (2 x - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 2.4.4

分配則を当てはめます。

$(- (2 x) - - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 2.4.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(- 2 x - - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 2.4.6

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 2.4.7

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.7.1

$x$ を $x^{2} - 4 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.7.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x \cdot x - 4 x)}^{2}}$

ステップ 2.4.7.1.2

$x$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x \cdot x + x \cdot - 4)}^{2}}$

ステップ 2.4.7.1.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 4$ で因数分解します。

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x (x - 4))}^{2}}$

ステップ 2.4.7.2

積の法則を $x (x - 4)$ に当てはめます。

$(- 2 x + 4) \frac{8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 2.4.8

$- 2 x + 4$ に $\frac{8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{(- 2 x + 4) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 2.4.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.9.1

$2$ を $- 2 x + 4$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.9.1.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{(2 (- x) + 4) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 2.4.9.1.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{(2 (- x) + 2 (2)) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 2.4.9.1.3

$2$ を $2 (- x) + 2 (2)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x + 2) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 2.4.9.2

$8$ に $2$ をかけます。

$\frac{16 (- x + 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 2.4.10

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{16 (- (x) + 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 2.4.11

$2$ を $- 1 (- 2)$ に書き換えます。

$\frac{16 (- (x) - 1 (- 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 2.4.12

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 2)$ で因数分解します。

$\frac{16 (- (x - 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 2.4.13

$- (x - 2)$ を $- 1 (x - 2)$ に書き換えます。

$\frac{16 (- 1 (x - 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 2.4.14

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$ の微分係数は $- 16 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}]$ です。

$f'' (x) = - 16 \frac{d}{d x} \frac{x - 2}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 3.2

$f (x) = x - 2$ および $g (x) = x^{2} {(x - 4)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.3

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.4.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = {(x - 4)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 4$ とします。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 u \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.3

$u$ のすべての発生を $x - 4$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.6

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.6.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.6.3

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4) (1 + 0)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.6.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4) \cdot 1) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.6.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.6.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} (2 x))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.6.6

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.6.1

$2$ を ${(x - 4)}^{2}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 \cdot ({(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.6.6.2

$- 16$ と $\frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 {(x - 4)}^{2} x)}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- 16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.6.6.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

積の法則を $x^{2} {(x - 4)}^{2}$ に当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x + 2 \cdot - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.4

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} (2 \cdot - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.5

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2}) + 16 ((- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} (2 \cdot - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.6.1

$16$ を $16 x^{2} {(x - 4)}^{2} + 16 (- x - - 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.6.1.1

$16$ を $16 x^{2} {(x - 4)}^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2}) + 16 (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.1.2

$16$ を $16 (- x - - 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2}) + 16 ((- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.1.3

$16$ を $16 (x^{2} {(x - 4)}^{2}) + 16 ((- x - - 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.2

${(x - 4)}^{2}$ を $(x - 4) (x - 4)$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} ((x - 4) (x - 4)) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 4) (x - 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.6.3.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x (x - 4) - 4 (x - 4)) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.3.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.3.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.6.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.6.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.4.1.2

$- 4$ を $x$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.4.1.3

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.4.2

$- 4 x$ から $4 x$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x^{2} - 8 x + 16) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.5

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 16 + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.6.6.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.6.6.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2 + 2} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 16 + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.6.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 16 + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.6.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{2} x + x^{2} \cdot 16 + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.6.3

$16$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{2} x + 16 \cdot x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.7

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.6.7.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 (x \cdot x^{2}) + 16 \cdot x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.7.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.6.7.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 (x \cdot x^{2}) + 16 \cdot x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.7.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{1 + 2} + 16 \cdot x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.7.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 \cdot x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.8

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.6.9.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.9.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.6.9.2.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.9.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.6.9.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.9.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.9.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.9.3

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.9.4

$- 4$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.9.5

${(x - 4)}^{2}$ を $(x - 4) (x - 4)$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 ((x - 4) (x - 4)) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.9.6

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 4) (x - 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.6.9.6.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x (x - 4) - 4 (x - 4)) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.9.6.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.9.6.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.9.7

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.6.9.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.6.9.7.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.9.7.1.2

$- 4$ を $x$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.9.7.1.3

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.9.7.2

$- 4 x$ から $4 x$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x^{2} - 8 x + 16) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.9.8

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + (2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 16) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.9.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.6.9.9.1

$- 8$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + (2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 16) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.9.9.2

$2$ に $16$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + (2 x^{2} - 16 x + 32) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.9.10

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x^{2} x - 16 x \cdot x + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.9.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.6.9.11.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.6.9.11.1.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) - 16 x \cdot x + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.9.11.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.6.9.11.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) - 16 x \cdot x + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.9.11.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x^{1 + 2} - 16 x \cdot x + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.9.11.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x^{3} - 16 x \cdot x + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.9.11.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.6.9.11.2.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x^{3} - 16 (x \cdot x) + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.9.11.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x^{3} - 16 x^{2} + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.10

$2 x^{3}$ と $2 x^{3}$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (4 x^{3} - 8 x^{2} - 16 x^{2} + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.11

$- 8 x^{2}$ から $16 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.12

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(- x + 2) (4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x)$ を展開します。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - x (4 x^{3}) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.13

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.6.13.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 1 \cdot (4 x \cdot x^{3}) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.13.2

指数を足して $x$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.6.13.2.1

$x^{3}$ を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 1 \cdot (4 (x^{3} x)) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.13.2.2

$x^{3}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.6.13.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 1 \cdot (4 (x^{3} x)) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.13.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 1 \cdot (4 x^{3 + 1}) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.13.2.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 1 \cdot (4 x^{4}) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.13.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.13.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (- 24 x \cdot x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.13.5

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.6.13.5.1

$x^{2}$ を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (- 24 (x^{2} x)) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.13.5.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.6.13.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (- 24 (x^{2} x)) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.13.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (- 24 x^{2 + 1}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.13.5.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (- 24 x^{3}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.13.6

$- 1$ に $- 24$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.13.7

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 1 \cdot (32 x \cdot x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.13.8

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.6.13.8.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 1 \cdot (32 (x \cdot x)) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.13.8.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 1 \cdot (32 x^{2}) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.13.9

$- 1$ に $32$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 32 x^{2} + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.13.10

$4$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 32 x^{2} + 8 x^{3} + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.13.11

$- 24$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 32 x^{2} + 8 x^{3} - 48 x^{2} + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.13.12

$32$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 32 x^{2} + 8 x^{3} - 48 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.14

$24 x^{3}$ と $8 x^{3}$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{3} - 32 x^{2} - 48 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.15

$- 32 x^{2}$ から $48 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{3} - 80 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.16

$x^{4}$ から $4 x^{4}$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + 32 x^{3} - 80 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.17

$- 8 x^{3}$ と $32 x^{3}$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 16 x^{2} - 80 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.18

$16 x^{2}$ から $80 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} - 64 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.19

因数分解した形で $- 3 x^{4} + 24 x^{3} - 64 x^{2} + 64 x$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.6.19.1

$x$ を $- 3 x^{4} + 24 x^{3} - 64 x^{2} + 64 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.6.19.1.1

$x$ を $- 3 x^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3}) + 24 x^{3} - 64 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.19.1.2

$x$ を $24 x^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3}) + x (24 x^{2}) - 64 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.19.1.3

$x$ を $- 64 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3}) + x (24 x^{2}) + x (- 64 x) + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.19.1.4

$x$ を $64 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3}) + x (24 x^{2}) + x (- 64 x) + x \cdot 64)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.19.1.5

$x$ を $x (- 3 x^{3}) + x (24 x^{2})$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3} + 24 x^{2}) + x (- 64 x) + x \cdot 64)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.19.1.6

$x$ を $x (- 3 x^{3} + 24 x^{2}) + x (- 64 x)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x) + x \cdot 64)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.19.1.7

$x$ を $x (- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x) + x \cdot 64$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 64))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.6.19.2

有理根検定を用いて $- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 64$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.6.19.2.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 64, \pm 2, \pm 32, \pm 4, \pm 16, \pm 8$

$q = \pm 1, \pm 3$

ステップ 3.7.6.19.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 64, \pm 21.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 32, \pm 10.\overline{6}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}, \pm 16, \pm 5.\overline{3}, \pm 8, \pm 2.\overline{6}$

ステップ 3.7.6.19.2.3

$4$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $4$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.6.19.2.3.1

$4$ を多項式に代入します。

$- 3 \cdot 4^{3} + 24 \cdot 4^{2} - 64 \cdot 4 + 64$

ステップ 3.7.6.19.2.3.2

$4$ を $3$ 乗します。

$- 3 \cdot 64 + 24 \cdot 4^{2} - 64 \cdot 4 + 64$

ステップ 3.7.6.19.2.3.3

$- 3$ に $64$ をかけます。

$- 192 + 24 \cdot 4^{2} - 64 \cdot 4 + 64$

ステップ 3.7.6.19.2.3.4

$4$ を $2$ 乗します。

$- 192 + 24 \cdot 16 - 64 \cdot 4 + 64$

ステップ 3.7.6.19.2.3.5

$24$ に $16$ をかけます。

$- 192 + 384 - 64 \cdot 4 + 64$

ステップ 3.7.6.19.2.3.6

$- 192$ と $384$ をたし算します。

$192 - 64 \cdot 4 + 64$

ステップ 3.7.6.19.2.3.7

$- 64$ に $4$ をかけます。

$192 - 256 + 64$

ステップ 3.7.6.19.2.3.8

$192$ から $256$ を引きます。

$- 64 + 64$

ステップ 3.7.6.19.2.3.9

$- 64$ と $64$ をたし算します。

$0$

ステップ 3.7.6.19.2.4

$4$ は既知の根なので、多項式を $x - 4$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 64}{x - 4}$

ステップ 3.7.6.19.2.5

$- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 64$ を $x - 4$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.6.19.2.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$4$

$3 x^{3}$

$24 x^{2}$

$64 x$

$64$

ステップ 3.7.6.19.2.5.2

被除数 $- 3 x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				-	$3 x^{2}$
	$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$

ステップ 3.7.6.19.2.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			-	$3 x^{3}$	+	$12 x^{2}$

ステップ 3.7.6.19.2.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $- 3 x^{3} + 12 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

ステップ 3.7.6.19.2.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$

ステップ 3.7.6.19.2.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$

ステップ 3.7.6.19.2.5.7

被除数 $12 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$

ステップ 3.7.6.19.2.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$48 x$

ステップ 3.7.6.19.2.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $12 x^{2} - 48 x$ の符号をすべて変更します。

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$

ステップ 3.7.6.19.2.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$

ステップ 3.7.6.19.2.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$	+	$64$

ステップ 3.7.6.19.2.5.12

被除数 $- 16 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$16$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$	+	$64$

ステップ 3.7.6.19.2.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$16$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$	+	$64$
							-	$16 x$	+	$64$

ステップ 3.7.6.19.2.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 16 x + 64$ の符号をすべて変更します。

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$16$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$	+	$64$
							+	$16 x$	-	$64$

ステップ 3.7.6.19.2.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$16$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$	+	$64$
							+	$16 x$	-	$64$
										$0$

ステップ 3.7.6.19.2.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$- 3 x^{2} + 12 x - 16$

ステップ 3.7.6.19.2.6

$- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 64$ を因数の集合として書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{16 (x ((x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{16 (x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.7

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.7.1

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.7.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - \frac{16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{2 \cdot 2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.7.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{4} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.7.2

${({(x - 4)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.7.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - \frac{16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{4} {(x - 4)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 3.7.7.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{4} {(x - 4)}^{4}}$

ステップ 3.7.7.3

$x$ と $x^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.7.3.1

$x$ を $16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{x ((16 (x - 4)) (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{x^{4} {(x - 4)}^{4}}$

ステップ 3.7.7.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.7.3.2.1

$x$ を $x^{4} {(x - 4)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{x ((16 (x - 4)) (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{x (x^{3} {(x - 4)}^{4})}$

ステップ 3.7.7.3.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - \frac{x ((16 (x - 4)) (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{x (x^{3} {(x - 4)}^{4})}$

ステップ 3.7.7.3.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{(16 (x - 4)) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{4}}$

ステップ 3.7.7.4

$x - 4$ と ${(x - 4)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.7.4.1

$x - 4$ を $16 (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (16 (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{x^{3} {(x - 4)}^{4}}$

ステップ 3.7.7.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.7.4.2.1

$x - 4$ を $x^{3} {(x - 4)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (16 (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{(x - 4) (x^{3} {(x - 4)}^{3})}$

ステップ 3.7.7.4.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (16 (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{(x - 4) (x^{3} {(x - 4)}^{3})}$

ステップ 3.7.7.4.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

ステップ 3.7.8

$- 1$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2}) + 12 x - 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

ステップ 3.7.9

$- 1$ を $12 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2}) - (- 12 x) - 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

ステップ 3.7.10

$- 1$ を $- (3 x^{2}) - (- 12 x)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2} - 12 x) - 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

ステップ 3.7.11

$- 16$ を $- 1 (16)$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2} - 12 x) - 1 \cdot 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

ステップ 3.7.12

$- 1$ を $- (3 x^{2} - 12 x) - 1 (16)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2} - 12 x + 16))}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

ステップ 3.7.13

$- (3 x^{2} - 12 x + 16)$ を $- 1 (3 x^{2} - 12 x + 16)$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{16 (- 1 (3 x^{2} - 12 x + 16))}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

ステップ 3.7.14

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{16 (3 x^{2} - 12 x + 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

ステップ 3.7.15

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 1 (\frac{16 (3 x^{2} - 12 x + 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}})$

ステップ 3.7.16

$\frac{16 (3 x^{2} - 12 x + 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{16 (3 x^{2} - 12 x + 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{8}{x^{2} - 4 x}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 4 x}]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 4 x}]$

ステップ 5.1.1.2

$\frac{1}{x^{2} - 4 x}$ を ${(x^{2} - 4 x)}^{- 1}$ に書き換えます。

$8 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4 x)}^{- 1}]$

ステップ 5.1.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2} - 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 4 x$ とします。

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

ステップ 5.1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

ステップ 5.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 4 x$ で置き換えます。

$8 (- {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

ステップ 5.1.3

微分します。

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ステップ 5.1.3.1

$- 1$ に $8$ をかけます。

$- 8 ({(x^{2} - 4 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

ステップ 5.1.3.2

総和則では、 $x^{2} - 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ です。

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

ステップ 5.1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

ステップ 5.1.3.4

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4 \cdot 1)$

ステップ 5.1.3.6

$- 4$ に $1$ をかけます。

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4)$

ステップ 5.1.4

簡約します。

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ステップ 5.1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 8 \frac{1}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

ステップ 5.1.4.2

項をまとめます。

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ステップ 5.1.4.2.1

$- 8$ と $\frac{1}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

ステップ 5.1.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

ステップ 5.1.4.3

$- \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$ の因数を並べ替えます。

$- (2 x - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.4

分配則を当てはめます。

$(- (2 x) - - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(- 2 x - - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.6

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.7

分母を簡約します。

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ステップ 5.1.4.7.1

$x$ を $x^{2} - 4 x$ で因数分解します。

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ステップ 5.1.4.7.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x \cdot x - 4 x)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.7.1.2

$x$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x \cdot x + x \cdot - 4)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.7.1.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 4$ で因数分解します。

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x (x - 4))}^{2}}$

ステップ 5.1.4.7.2

積の法則を $x (x - 4)$ に当てはめます。

$(- 2 x + 4) \frac{8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.8

$- 2 x + 4$ に $\frac{8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{(- 2 x + 4) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.9

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.4.9.1

$2$ を $- 2 x + 4$ で因数分解します。

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ステップ 5.1.4.9.1.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{(2 (- x) + 4) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.9.1.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{(2 (- x) + 2 (2)) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.9.1.3

$2$ を $2 (- x) + 2 (2)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x + 2) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.9.2

$8$ に $2$ をかけます。

$\frac{16 (- x + 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.10

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{16 (- (x) + 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.11

$2$ を $- 1 (- 2)$ に書き換えます。

$\frac{16 (- (x) - 1 (- 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.12

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 2)$ で因数分解します。

$\frac{16 (- (x - 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.13

$- (x - 2)$ を $- 1 (x - 2)$ に書き換えます。

$\frac{16 (- 1 (x - 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 5.1.4.14

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$ です。

$- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$

ステップ 6.2

分子を0に等しくします。

$16 (x - 2) = 0$

ステップ 6.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 6.3.1

$16 (x - 2) = 0$ の各項を $16$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

$16 (x - 2) = 0$ の各項を $16$ で割ります。

$\frac{16 (x - 2)}{16} = \frac{0}{16}$

ステップ 6.3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1.2.1

$16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{16 (x - 2)}{16} = \frac{0}{16}$

ステップ 6.3.1.2.1.2

$x - 2$ を $1$ で割ります。

$x - 2 = \frac{0}{16}$

ステップ 6.3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1.3.1

$0$ を $16$ で割ります。

$x - 2 = 0$

ステップ 6.3.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 7.1

$\frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 7.2

$x$ について解きます。

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ステップ 7.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 7.2.2

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.2.2.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 7.2.2.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 7.2.2.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 7.2.2.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 7.2.2.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 7.2.2.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 7.2.2.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 7.2.3

${(x - 4)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.2.3.1

${(x - 4)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 7.2.3.2

$x$ について ${(x - 4)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 7.2.3.2.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 7.2.3.2.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 7.2.4

最終解は $x^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 4$

ステップ 7.3

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x = 0, x = 4$

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = 2$

ステップ 9

$x = 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{16 (3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2 + 16)}{{(2)}^{3} {((2) - 4)}^{3}}$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 10.1

分子を簡約します。

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ステップ 10.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{16 (3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 + 16)}{2^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

ステップ 10.1.2

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{16 (12 - 12 \cdot 2 + 16)}{2^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

ステップ 10.1.3

$- 12$ に $2$ をかけます。

$\frac{16 (12 - 24 + 16)}{2^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

ステップ 10.1.4

$12$ から $24$ を引きます。

$\frac{16 (- 12 + 16)}{2^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

ステップ 10.1.5

$- 12$ と $16$ をたし算します。

$\frac{16 \cdot 4}{2^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

ステップ 10.2

分母を簡約します。

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ステップ 10.2.1

$2$ から $4$ を引きます。

$\frac{16 \cdot 4}{2^{3} {(- 2)}^{3}}$

ステップ 10.2.2

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{16 \cdot 4}{8 {(- 2)}^{3}}$

ステップ 10.2.3

$- 2$ を $3$ 乗します。

$\frac{16 \cdot 4}{8 \cdot - 8}$

ステップ 10.3

式を簡約します。

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ステップ 10.3.1

$16$ に $4$ をかけます。

$\frac{64}{8 \cdot - 8}$

ステップ 10.3.2

$8$ に $- 8$ をかけます。

$\frac{64}{- 64}$

ステップ 10.3.3

$64$ を $- 64$ で割ります。

$- 1$

ステップ 11

$x = 2$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 2$ は極大値です

ステップ 12

$x = 2$ のときy値を求めます。

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ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = \frac{8}{{(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

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ステップ 12.2.1

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 12.2.1.1

$8$ と ${(2)}^{2} - 4 \cdot 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$f (2) = \frac{2 \cdot 4}{2^{2} - 4 \cdot 2}$

ステップ 12.2.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 12.2.1.1.2.1

$2$ を $2^{2}$ で因数分解します。

$f (2) = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 2 - 4 \cdot 2}$

ステップ 12.2.1.1.2.2

$2$ を $- 4 \cdot 2$ で因数分解します。

$f (2) = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 2 + 2 (- 2 \cdot 2)}$

ステップ 12.2.1.1.2.3

$2$ を $2 \cdot 2 + 2 (- 2 \cdot 2)$ で因数分解します。

$f (2) = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot (2 - 2 \cdot 2)}$

ステップ 12.2.1.1.2.4

共通因数を約分します。

$f (2) = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot (2 - 2 \cdot 2)}$

ステップ 12.2.1.1.2.5

式を書き換えます。

$f (2) = \frac{4}{2 - 2 \cdot 2}$

ステップ 12.2.1.2

$4$ と $2 - 2 \cdot 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (2) = \frac{2 (2)}{2 - 2 \cdot 2}$

ステップ 12.2.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1 - 2 \cdot 2}$

ステップ 12.2.1.2.2.2

$2$ を $- 2 \cdot 2$ で因数分解します。

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1 + 2 (- 1 \cdot 2)}$

ステップ 12.2.1.2.2.3

$2$ を $2 (1) + 2 (- 1 \cdot 2)$ で因数分解します。

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2 (1 - 1 \cdot 2)}$

ステップ 12.2.1.2.2.4

共通因数を約分します。

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2 (1 - 1 \cdot 2)}$

ステップ 12.2.1.2.2.5

式を書き換えます。

$f (2) = \frac{2}{1 - 1 \cdot 2}$

ステップ 12.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (2) = \frac{2}{1 - 2}$

ステップ 12.2.2.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f (2) = \frac{2}{- 1}$

ステップ 12.2.3

$2$ を $- 1$ で割ります。

$f (2) = - 2$

ステップ 12.2.4

最終的な答えは $- 2$ です。

$y = - 2$

ステップ 13

$f (x) = \frac{8}{x^{2} - 4 x}$ の極値です。

$(2, - 2)$ は極大値です

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例