微分積分例

$y = \frac{x}{8 x + 3}$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = 8 x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(8 x + 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [8 x + 3]}{{(8 x + 3)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(8 x + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [8 x + 3]}{{(8 x + 3)}^{2}}$

ステップ 2.2

総和則では、 $8 x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{(8 x + 3) \cdot 1 - x (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(8 x + 3)}^{2}}$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [8 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(8 x + 3) \cdot 1 - x (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(8 x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(8 x + 3) \cdot 1 - x (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(8 x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.3

$8$ に $1$ をかけます。

$\frac{(8 x + 3) \cdot 1 - x (8 + \frac{d}{d x} [3])}{{(8 x + 3)}^{2}}$

ステップ 4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(8 x + 3) \cdot 1 - x (8 + 0)}{{(8 x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.2

$8$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(8 x + 3) \cdot 1 - x \cdot 8}{{(8 x + 3)}^{2}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{8 x \cdot 1 + 3 \cdot 1 - x \cdot 8}{{(8 x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.2

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$8 x \cdot 1 + 3 \cdot 1 - x \cdot 8$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.1.1

$8 x \cdot 1$ と $- x \cdot 8$ について因数を並べ替えます。

$\frac{1 \cdot 8 x + 3 \cdot 1 - 1 \cdot 8 x}{{(8 x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.2

$1 \cdot 8 x$ から $8 x$ を引きます。

$\frac{3 \cdot 1 + 0}{{(8 x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.3

$3 \cdot 1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 \cdot 1}{{(8 x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.2.2

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{{(8 x + 3)}^{2}}$

微分積分 例

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