微分積分例

$- \frac{12 y^{\frac{3}{2}}}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1

この微分係数は商の法則を利用して完成できませんでした。Mathwayでは他の方法を利用します。

ステップ 2

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 2.1

$- 12 y^{\frac{3}{2}}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{12 y^{\frac{3}{2}}}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $- 12 y^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$- 12 y^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.2

$\frac{1}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}$ を ${(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- 12 y^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

ステップ 3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = 1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}$ とします。

$- 12 y^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 12 y^{\frac{3}{2}} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$- 12 y^{\frac{3}{2}} (- {(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$- 1$ に $- 12$ をかけます。

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 4.2

総和則では、 $1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}]$ です。

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}]))$

ステップ 4.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}]))$

ステップ 4.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}]$ をたし算します。

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 4.5

$12 y^{\frac{1}{2}}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x y^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $12 y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (12 y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 4.6

式を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$12$ を ${(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ の左に移動させます。

$12 y^{\frac{3}{2}} (12 \cdot {(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.6.2

$12$ に $12$ をかけます。

$144 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$144 y^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 6.1

公分母の分子をまとめます。

$144 y^{\frac{1 + 3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$144 y^{\frac{4}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6.3

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$144 y^{\frac{2 \cdot 2}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$144 y^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6.3.2.2

共通因数を約分します。

$144 y^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6.3.2.3

式を書き換えます。

$144 y^{\frac{2}{1}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6.3.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$144 y^{2} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$144 y^{2} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \cdot 1)$

ステップ 8

${(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$144 y^{2} {(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$144 y^{2} \frac{1}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 9.2

項をまとめます。

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ステップ 9.2.1

$144$ と $\frac{1}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ をまとめます。

$y^{2} \frac{144}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 9.2.2

$y^{2}$ と $\frac{144}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{y^{2} \cdot 144}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 9.2.3

$144$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{144 y^{2}}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 9.3

項を並べ替えます。

$\frac{144 y^{2}}{{(12 y^{\frac{1}{2}} x + 1)}^{2}}$

ステップ 9.4

$\frac{144 y^{2}}{{(12 y^{\frac{1}{2}} x + 1)}^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{144 y^{2}}{{(12 x y^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

微分積分 例

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