微分積分例

$\frac{3 x e^{x^{2}} + 8}{y}$

ステップ 1

$f (x) = 3 x e^{x^{2}} + 8$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{y \frac{d}{d x} [3 x e^{x^{2}} + 8] - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 2

総和則では、 $3 x e^{x^{2}} + 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [8]$ です。

$\frac{y (\frac{d}{d x} [3 x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [3 x e^{x^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x e^{x^{2}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ です。

$\frac{y (3 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{y (3 (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 3.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$\frac{y (3 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{y (3 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{y (3 (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y (3 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y (3 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 3.6

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{y (3 (x^{1} x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 3.7

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{y (3 (x^{1} x^{1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{y (3 (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 3.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{y (3 (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 3.10

$2$ を $e^{x^{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{y (3 (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 3.11

$e^{x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{y (3 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 4

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{y (3 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + 0) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{y (3 (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + 3 e^{x^{2}} + 0) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 5.2

項をまとめます。

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ステップ 5.2.1

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{y (6 (x^{2} (e^{x^{2}})) + 3 e^{x^{2}} + 0) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 5.2.2

$6 x^{2} e^{x^{2}} + 3 e^{x^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}} + 3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 5.3

項を並べ替えます。

$\frac{y (6 e^{x^{2}} x^{2} + 3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 5.4

$6 e^{x^{2}} x^{2} + 3 e^{x^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}} + 3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 6

$y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}} + 3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \cdot 0}{y^{2}}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}}) + y (3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \cdot 0}{y^{2}}$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}}) + y (3 e^{x^{2}}) + (- (3 x e^{x^{2}}) - 1 \cdot 8) \cdot 0}{y^{2}}$

ステップ 7.3

分配則を当てはめます。

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}}) + y (3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}}) \cdot 0 - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

ステップ 7.4

分子を簡約します。

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ステップ 7.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.4.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + y (3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}}) \cdot 0 - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

ステップ 7.4.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} - (3 x e^{x^{2}}) \cdot 0 - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

ステップ 7.4.1.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} - 3 (x e^{x^{2}}) \cdot 0 - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

ステップ 7.4.1.4

$- 3 x e^{x^{2}} \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 7.4.1.4.1

$0$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 x e^{x^{2}} - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

ステップ 7.4.1.4.2

$0$ に $x$ をかけます。

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 e^{x^{2}} - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

ステップ 7.4.1.4.3

$0$ に $e^{x^{2}}$ をかけます。

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

ステップ 7.4.1.5

$- 1 \cdot 8 \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 7.4.1.5.1

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 - 8 \cdot 0}{y^{2}}$

ステップ 7.4.1.5.2

$- 8$ に $0$ をかけます。

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 + 0}{y^{2}}$

ステップ 7.4.2

$6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 + 0$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 7.4.2.1

$6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0}{y^{2}}$

ステップ 7.4.2.2

$6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}}}{y^{2}}$

ステップ 7.5

項を並べ替えます。

$\frac{6 e^{x^{2}} x^{2} y + 3 e^{x^{2}} y}{y^{2}}$

ステップ 7.6

$3 e^{x^{2}} y$ を $6 e^{x^{2}} x^{2} y + 3 e^{x^{2}} y$ で因数分解します。

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ステップ 7.6.1

$3 e^{x^{2}} y$ を $6 e^{x^{2}} x^{2} y$ で因数分解します。

$\frac{3 e^{x^{2}} y (2 x^{2}) + 3 e^{x^{2}} y}{y^{2}}$

ステップ 7.6.2

$3 e^{x^{2}} y$ を $3 e^{x^{2}} y$ で因数分解します。

$\frac{3 e^{x^{2}} y (2 x^{2}) + 3 e^{x^{2}} y (1)}{y^{2}}$

ステップ 7.6.3

$3 e^{x^{2}} y$ を $3 e^{x^{2}} y (2 x^{2}) + 3 e^{x^{2}} y (1)$ で因数分解します。

$\frac{3 e^{x^{2}} y (2 x^{2} + 1)}{y^{2}}$

ステップ 7.7

$y$ と $y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.7.1

$y$ を $3 e^{x^{2}} y (2 x^{2} + 1)$ で因数分解します。

$\frac{y (3 e^{x^{2}} (2 x^{2} + 1))}{y^{2}}$

ステップ 7.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.7.2.1

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y (3 e^{x^{2}} (2 x^{2} + 1))}{y \cdot y}$

ステップ 7.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{y (3 e^{x^{2}} (2 x^{2} + 1))}{y \cdot y}$

ステップ 7.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 e^{x^{2}} (2 x^{2} + 1)}{y}$

微分積分 例

微分積分例