微分積分例

$y = \frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{x}$

ステップ 1

$f (x) = 8 x^{\frac{3}{2}}$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [8 x^{\frac{3}{2}}] - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{\frac{3}{2}}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ です。

$\frac{x (8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.2

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 6.2

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 7

$\frac{3}{2}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{x (8 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 8

$8$ と $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{x \frac{8 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 9

$3$ に $8$ をかけます。

$\frac{x \frac{24 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 10

$2$ を $24 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{x \frac{2 (12 x^{\frac{1}{2}})}{2} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 11

共通因数を約分します。

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ステップ 11.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{x \frac{2 (12 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 11.2

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{2 (12 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 11.3

式を書き換えます。

$\frac{x \frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{1} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 11.4

$12 x^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$\frac{x (12 x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (12 x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

分子を簡約します。

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ステップ 13.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 13.1.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{12 x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 13.1.1.2

指数を足して $x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 13.1.1.2.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} x) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 13.1.1.2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 13.1.1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 13.1.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{12 x^{\frac{1}{2} + 1} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 13.1.1.2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{12 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 13.1.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{12 x^{\frac{1 + 2}{2}} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 13.1.1.2.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{12 x^{\frac{3}{2}} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 13.1.1.3

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\frac{12 x^{\frac{3}{2}} - 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 13.1.1.4

$- 8$ に $1$ をかけます。

$\frac{12 x^{\frac{3}{2}} - 8 x^{\frac{3}{2}}}{x^{2}}$

ステップ 13.1.2

$12 x^{\frac{3}{2}}$ から $8 x^{\frac{3}{2}}$ を引きます。

$\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{x^{2}}$

ステップ 13.2

項をまとめます。

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ステップ 13.2.1

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $x^{\frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{4}{x^{2} x^{- \frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{- \frac{3}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 13.2.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4}{x^{2 - \frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.2.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{4}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.2.3

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{4}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4}{x^{\frac{2 \cdot 2 - 3}{2}}}$

ステップ 13.2.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 13.2.2.5.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4}{x^{\frac{4 - 3}{2}}}$

ステップ 13.2.2.5.2

$4$ から $3$ を引きます。

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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